Kết quả của $\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$

Question

$$\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$$

Tôi thấy rằng sự tích hợp này là không rõ ràng vì tôi có thể nhận được câu trả lời bằng các cách tiếp cận khác nhau. Những câu trả lời này có hợp lệ và đúng sự thật không? Ai đó có thể cho tôi biết tại sao và làm thế nào? Ngoài ra, có bằng chứng nào nói rằng hai phương pháp tôi sử dụng này cho kết quả cùng giá trị / câu trả lời không?

Đây là cách tôi làm việc, vui lòng sửa cho tôi nếu tôi sai

Phương pháp đầu tiên:

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\sin x \cdot \sin^2x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int{\sin x (1 - \cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \displaystyle\int{(\sin x - \sin x\cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C \end{align}

Phương pháp thứ hai:

Đầu tiên, chúng tôi biết rằng $$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

Vì thế, $$\sin^3x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$$

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\left(\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x\right)}\,\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + C \end{align}

Answer 1

$$\cos 3x =4\cos^3x -3\cos x$$ Vì thế, $$\frac{1}{12}\color{green}{\cos 3x} - \frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{12}(\color{green}{4\cos^3x -3\cos x})-\frac{3}{4}\cos x$$ $$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x$$

Do đó cả hai câu trả lời đều giống nhau.

Answer 2

Vâng, chúng đều hợp lệ và đúng sự thật. Thực ra,$$(\forall x\in\Bbb R):\frac13\cos^3(x)-\cos(x)=\frac1{12}\cos(3x)-\frac34\cos(x)$$từ$$(\forall x\in\Bbb R):\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).$$

Answer 3

Từ $$\cos^3(x)=\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$$

Tích phân đầu tiên của bạn trở thành $$\int \sin^3(x)dx=\dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)\big]-\cos(x)+C$$ $$=\frac{1}{12}\cos(3x)-\frac{3}{4}\cos(x)+C$$

---

Lưu ý rằng hằng số tích hợp không nhất thiết phải giống nhau. Ví dụ sử dụng$u$-các phụ đề cho mẫu số chúng ta có $$\int \frac{4x}{4x^2+7}dx=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}$$

$$\int \frac{x}{x^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}$$

Ở đây chúng tôi có $C_{2}=C_{1}+\frac{1}{2}\ln(4)$vì chúng là hằng số. Thật vậy, chúng tôi có$$\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\ln(4)+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+\frac{7}{4})+\ln(4)\big]+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4(x^2+\frac{7}{4}))+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}.$$