Kích thước sợi

Question

Để cho $f:X\rightarrow Y$ là một phép biến đổi hình ảnh xạ ảnh của các lược đồ đại số (trên một trường đóng đại số $F$ đặc điểm $0$). Tôi nghĩ trong những trường hợp tốt ($X$ và $Y$ không thể thay đổi được) chúng tôi có điều đó cho mọi $y$ trong $Y$ kích thước của sợi $f^{-1}(y)$ là ít nhất $\dim X-\dim Y$. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bỏ giả định bất khả quy? Có phải là các ví dụ đối lập với giới hạn dưới này cho thứ nguyên của$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Có, nếu bạn không yêu cầu $Y$ không thể thay đổi được thì ràng buộc này có thể bị vi phạm.

Ví dụ rẻ nhất là lấy $f: X \rightarrow Y$ mặt phụ của bất kỳ thứ nguyên tương đối nào bạn thích, lớn hơn $0$, để cho $X'$ và $Y'$ là sự kết hợp rời rạc của mỗi người trong số họ với một điểm và xác định $f'$ ngang bằng $f$ trên $X$ và để lập bản đồ điểm mới trên $X$ đến điểm mới trên $Y$.

Nếu bạn yêu cầu sự kết nối, bạn có thể làm điều gì đó tương tự, bây giờ hãy đính kèm nói một dòng ngược với $X$ Ở một vài điểm $x$ và một dòng khác để $Y$ tại $f(x)$và mở rộng $f$ bằng cách ánh xạ đường thẳng tới đường đẳng tích.

---

Chỉ cần mày mò hơn một chút, chúng ta cũng có thể tạo ra một ví dụ trong đó $Y$ là không thể thay đổi, như sau.

Để cho $Y=\mathbf A^1$, để cho $Z \subset \mathbf A^2$ được xác định bởi $xy=1$, và để $q:Z \rightarrow Y$là phép chiếu lên yếu tố đầu tiên. Bản đồ này là một đẳng cấu trên tập hợp mở$Y \setminus \{0\}$.

Bây giờ hãy để $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Sau đó, bản đồ chiếu$W \rightarrow Y$ có sợi 1 chiều trên mọi điểm $y \neq 0$, trong khi chất xơ hơn $0$ trống rỗng.

Cuối cùng để $L$ là trục $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, và để $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Sau đó, phép chiếu$X \rightarrow Y$ là mặt cắt học, với các sợi 1 chiều trên mỗi $y \neq 0$và sợi 0 chiều trên $0 \in Y$.