Là $X/R$ homeomorphic thành $\mathbb R$?

Question

Được coi là $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ được ưu đãi với cấu trúc liên kết cảm ứng của $\mathbb R^2$. Trong$X$ xác định quan hệ tương đương:

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

Có đúng là thương số $X/R$ là homeomorphic tới $\mathbb R$?

Tôi nghĩ vậy bởi vì nếu chúng ta xác định $f: X\rightarrow \mathbb R$ cài đặt $f(x, y)=x$ sau đó

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

vì thế $f$ giảm dần đến thương số $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ bởi $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

Bản đồ này $f$ là liên tục bởi vì nếu $\mathcal{U}$ đang mở trong $\mathbb R$ sau đó

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ đang mở trong $X$. Điều này nghĩa là$\widehat{f}$là liên tục. Thông suốt$\widehat{f}$ là một phép từ chối, nhưng tôi không thể kết thúc đối số để chỉ ra rằng nó là một phép đồng cấu.

Cảm ơn.

Answer 1

Bạn có ý tưởng đúng, nhưng để thấy được mức độ mở, chúng ta cần xác định các nhóm mở của $X/R$ là: Nó bao gồm chính xác tất cả các bộ $U\subseteq X/R$ sao cho hình ảnh trước của phép chiếu lên các lớp tương đương $X\to X/R$ đang mở.

Tiền ảnh được đưa ra chính xác bởi các bộ $S\subseteq X$ được đóng theo quan hệ tương đương này, nghĩa là, nếu $s\in S$, sau đó mỗi $s'$ với $sRs'$cũng phải ở S. Nói cách khác, nó phải là sự kết hợp của (thậm chí được phân chia bởi) các lớp tương đương. Trong trường hợp này, các lớp tương đương có dạng$\{x\}\times (0,\infty)$. Do đó, S phải có dạng$\mathcal S\times (0,\infty)$.

Theo định nghĩa của cấu trúc liên kết sản phẩm, cấu trúc này mở trong $X$ nếu và chỉ nếu $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ đang mở.

Do đó, bản đồ $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ đang lấy $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ đến $x$ lập bản đồ một tập hợp mở $\mathcal U\times (0,\infty)$ đến bộ mở $\mathcal U$, và bạn đã hoàn tất.