Làm $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ hội tụ?
Hãy xem xét tổng sau (trong đó $\Im(z)$ biểu thị phần tưởng tượng của $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
I E;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
Tôi đã viết một số mã python chung ( Dùng thử trực tuyến ) và rất ngạc nhiên khi thấy sự hội tụ rõ ràng của nó với$\approx9.424$
Tôi đặc biệt quan tâm đến phần ảo bởi vì phần thực dường như phân kỳ theo lôgarit.
Điều này có hội tụ không? Nếu vậy, có các biểu thức khác cho hằng số không?
Có lẽ bài kiểm tra Dirichlet có thể hữu ích, mặc dù tôi không biết cách tiến hành.
Trả lời
Sau một số lần lặp lại, chúng tôi đã đạt được $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ với $b_n > 0$ và $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. Sau đó$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ và $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ Như vậy $b_{n+1} > b_n$ và $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ có cùng dấu và độ lớn nhỏ hơn $\varepsilon_n$. (Ở đây chúng tôi có$\varepsilon_n > 0$, nhưng đối với các giá trị bắt đầu khác, giá trị này có thể đạt đến các phần tưởng tượng nhỏ hơn một chút so với bội số lẻ của $\pi$.)
Nó theo sau đó $\varepsilon_n$ hội tụ, và vẫn thấy rằng giới hạn là $0$. Giả sử giới hạn là$\delta \neq 0$. Sau đó cho tất cả$n$ chúng ta có $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ và nó theo sau đó $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Từ $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ nó tiếp tục sau đó $b_n$ hội tụ, đặc biệt $b_n < B$ cho tất cả $n$ và một số $B$, nhưng điều này mâu thuẫn $(\ast)$. vì thế$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ theo sau.
Không phải là bằng chứng đầy đủ nhưng là một dấu hiệu mạnh mẽ rằng
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Nếu giới hạn hội tụ, thì
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Do đó, giải pháp cần đáp ứng
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Xem xét cách tiếp cận ước tính số $3\pi$(như được chỉ ra bởi Stinking Bishop , JG và Gottfried Helms ), hoặc loạt bài hội tụ$3\pi$, hoặc bằng cách nào đó dao động rất chậm giữa các điểm cố định hấp dẫn có dạng $\pi n$. Nếu điều này là đúng, thì thật tò mò rằng mặc dù khởi tạo$a_1=e^i$, gần hơn nhiều $\pi n$ cho $n\in\{-1,0,1,2\}$, nó thích hội tụ nội tâm về phía $3\pi$.
Về cơ bản, chúng tôi có
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Kết xuất $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. Sau đó
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Ở đâu
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Điều gì xảy ra tiếp theo phụ thuộc vào tính ngang bằng của $k$. Nếu$k$ là thậm chí, sau đó trong giới hạn nhỏ $|\epsilon_n|$ chúng tôi kết xuất $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ và $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, do đó:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Điều này thể hiện sự không ổn định vì $\epsilon_n$ số hạng được nhân với một hệ số lớn hơn $1$và tệ hơn là yếu tố đó phát triển bởi vì $\alpha_n$đang tăng. Chúng ta chạy trốn khỏi khả năng này bằng nhiều cách khác nhau.
Nếu $k$ là kỳ quặc, sau đó $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ và $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, sau đó:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Bây giờ $\epsilon$ tham số được nhân với một số dương nhỏ hơn $1$, cho phép một điều kiện ổn định. Ngoài ra$\alpha$tham số giảm theo lôgarit; nghiệm của phương trình sai khác cho$\alpha_n$ cho $\alpha_n\sim -\ln n$. Do đó, các điểm cố định ổn định cụ thể là bội số lẻ của$\pi$. Chúng tôi mong đợi sự hội tụ thành một số lẻ thay vì bội số chẵn$\pi$.
Có một trục trặc nhỏ trong kết quả này. Bởi vì$\alpha$ đang giảm, hệ số trên $\epsilon$ đang đến gần $1$nên sự hội tụ của $\epsilon$về 0 làm chậm. Điều này có thể giải thích tại sao các kết quả số chỉ hội tụ từ từ đến điểm cố định ổn định tại$3\pi$.
Cập nhật: có thể "quan hệ nghịch đảo đơn giản" (sau eq 2) là lộn xộn. Không biết liệu tôi có thể sửa chữa cái này không
Lưu ý: đây không phải là một câu trả lời, mà là một bài tập có thể làm sáng tỏ hơn toàn bộ vấn đề
Giống như Oscar Lanzi đã nhận xét trong bình luận của anh ấy ("hãy thử đặt thuật ngữ ban đầu ...") Tôi đã xem xét hành vi của sự lặp lại bắt đầu từ các điểm xuất phát khác nhau.
Điều này dẫn đến câu hỏi về chức năng đảo ngược và thử, liệu chúng ta có thể quay ngược lại từ$z_0=\exp(î)$ và xem, giá trị nào $z_{-1}$ sẽ lặp lại $z_0$ và như thế.
Tôi đã tìm thấy hàm nghịch đảo sau, hàm này cần một cặp tham số ở mỗi bước.
Để cho $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ thì hàm ngược có thể được viết dưới dạng $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Lưu ý: LambertW () branchindex$b$ là theo một số triển khai của người dùng trong Pari / GP, nó có thể có dấu hiệu khác hoặc theo cách khác trong M'ma hoặc Maple et al.]
Sau đó, nếu chúng ta có $ z_1 = g(z_2, b,k)$ với một số đã cho $b,k$, thì chúng ta có quan hệ nghịch đảo đơn giản $ z_2 = f( z_1)$ .
Cập nhật: điều này dường như chỉ đúng với các tập hợp con của $(b,k)$ và $b$ và $k$ có quan hệ tuyến tính và điều đó cũng phụ thuộc vào $z_2$. Đó là sai lầm như một tuyên bố chung. Tuy nhiên, ví dụ về dữ liệu hiện tại (xem bên dưới) và hình ảnh đều đúng.
Thật không may, điều ngược lại không dễ dàng như vậy. Nếu chúng ta có$ z_2 = f(z_1)$ với một $z_1$ thì các giá trị thích hợp cho $b$ và $k$ trong $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ phải được xác định theo kinh nghiệm .
Có vẻ như, trong sự lặp lại đến vô tận,$b$-parameter cho LambertW () chi phối phần thực của hội tụ và$k$tham số nhánh cho log () chi phối phần ảo của hội tụ
Ví dụ, để tìm một tiền tố có thể có cho$z_0=\exp(î)$ chúng ta có thể chọn tham số đơn giản nhất cho $g()$ cụ thể là $b=0$ và $k=0$ và lấy $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Kiểm tra nó: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Ở đây chúng tôi dường như có điều đó $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ độc lập với các giá trị của $(b,k)$ và chỉ phần ảo thay đổi trong các bước của $2 \pi$.
Nhưng đánh giá ngược lại,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ chỉ đúng với các giá trị duy nhất trong $b$ và trong $k$.
Tôi đoán là, đối với các lần lặp lại của chỉ mục, hãy nói $i=20$, khi thành phần ảo đến vùng hội tụ và cả sự tiến hóa của thành phần thực trở nên trơn tru, các tham số cho các bước lùi $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ trở nên không đổi và thực sự, ngược lại $z_7$ chúng tôi luôn luôn $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Bây giờ, nếu chúng ta tiếp tục từ $z_7$ lùi xa hơn với các thông số tương tự $(b,k)=(0,2)$thay vào đó ...
... chúng tôi không đến$z_0 = \exp(î)$ nhưng ở một số giá trị khác.
Vì vậy, hãy xem, những thông số nào chúng ta thực sự cần khi quay ngược lại $z_7$ đến $z_6$ và để $z_0$.
Xem các lần lặp lại$z_0$ đến $z_9$ và các thông số $b_i$ và $k_i$ cho mỗi lần lặp:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
Bắt đầu lúc $z_7$ chúng tôi sẽ làm $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
Khía cạnh thú vị hơn ở đây là chúng ta có thể lặp lại vô hạn theo hướng ngược lại (sử dụng $g(,0,2)$) với cặp tham số không đổi đó $(0,2)$ và lặp lại dường như hướng tới $- \infty + 4 \pi î$
Đây là sơ đồ về quỹ đạo một phần của $30$ bước trên $f()$ (màu: xanh lam) cụ thể là $z_0$ đến $z_{30}$ và sau đó là quỹ đạo một phần của $63$ bước trên $g( ,0,2)$ (màu: vàng) cụ thể là $z_{30}$ đến $z_{-32}$.
