Lý thuyết trường fermionic là gì?
Để cho $\mathscr{H}$ là một không gian Hilbert và $\mathscr{H}^{n}$ được liên kết $n$-sản phẩm tensor gấp của không gian Hilbert này. Tôi sẽ bỏ qua các chi tiết toán học trong phần tiếp theo, nhưng cách tiếp cận của tôi theo cuốn sách của Reed & Simon . Chúng ta có thể xác định một toán tử$A_{n}$, được gọi là toán tử phản đối xứng, là phép chiếu trực giao lên $\mathscr{H}^{n}$ đến không gian con phản đối xứng của nó $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. Về mặt toán học, chúng ta có thể xác định những gì thường được gọi là không gian Fock fermionic $\mathcal{F}_\text{fer}$ bởi: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ Ở đâu $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ và $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. Chúng tôi có thể tiếp tục và xác định các toán tử trên$\mathcal{F}_\text{fer}$, chẳng hạn như toán tử Hamilton, toán tử tạo và hủy, v.v. Thủ tục để làm điều đó về cơ bản như sau: chúng ta có một toán tử nhất định$T$ trên $\mathscr{H}$ và chúng tôi mở rộng nó đến $\mathscr{H}^{n}$bằng cách sử dụng một thủ tục được gọi là lượng tử hóa thứ hai và sau đó xác định$T$ trên $\mathcal{F}_\text{per}$ bằng cách cho phép nó hoạt động trên từng 'thành phần' $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
Kịch bản trên khá chung chung, và về cơ bản nó là toán học. Tuy nhiên, cái tên 'fermionic' luôn khiến tôi chú ý. Tôi chắc chắn rằng đây là công thức toán học của một hệ gồm nhiều fermion theo một nghĩa nào đó, và điều này sẽ giải thích cho cái tên. Tuy nhiên, thời gian trôi qua, tôi đã tìm thấy một số mô hình rất khác nhau dường như được mô tả bởi chủ nghĩa hình thức ở trên. Hãy để tôi cung cấp cho bạn một số ví dụ nhanh chóng không chính thức:
(1) Chúng tôi có thể lấy$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ không gian của các hàm tích phân bình phương có giá trị phức được xác định trên $\mathbb{R}^{d}$.
(2) Nếu chúng tôi đang ở trong một không gian tùy tiện, chúng tôi có thể thay thế$\mathbb{R}^{d}$ trong ví dụ trên bởi một số tập hợp hữu hạn $\Lambda$. Tập hợp hữu hạn này có thể là một mạng tinh thể hữu hạn hoặc thậm chí là tích các-ten của một mạng tinh thể hữu hạn và một tập hợp 'spin' hữu hạn nào đó.
(3) Nếu chúng ta đang nghĩ về các trường Dirac, có vẻ như Hilbert thích hợp$\mathscr{H}$ Là $\mathbb{C}^{2}$, tài khoản nào để quay dòng ${1}\choose{0}$ và ${0}\choose{1}$.
Ba ví dụ này (và có thể là những ví dụ khác) được tìm thấy trong nhiều cuốn sách khác nhau dưới cùng tên của 'hệ thống fermionic' hoặc 'lý thuyết trường fermionic'.
Câu hỏi: Tôi không biết liệu cả ba ví dụ này có chỉ là những nhận thức khác nhau của chỉ một hệ thống vật lý hay không, nhưng tôi tin rằng không phải vậy . Vì vậy, có vẻ như theo lý thuyết trường fermionic, người ta thường nghĩ về một không gian Fock fermionic$\mathcal{F}_\text{fer}$ cùng với một số Hamilton lượng tử hóa thứ hai $H$hành động trên không gian Fock này, vì vậy thực tế có rất nhiều nhận thức khác nhau về lý thuyết trường fermion hơn là chỉ một. Nó thật sự đúng?
Trả lời
Lý thuyết trường fermionic không được đặc trưng bởi không gian Hilbert của nó. Nó được đặc trưng bởi các mối quan hệ đại số giữa các toán tử trường của nó.
Lý thuyết trường fermionic là lý thuyết mà các vật thể quan sát được xây dựng từ các toán tử trường $\psi_n(x)$ thỏa mãn các mối quan hệ chống cắt ngang thời gian \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} Ở đâu $\{A,B\}\equiv AB+BA$. Nguyên tắc loại trừ Pauli là hệ quả của điều này. Các cấu trúc khác nhau được mô tả trong câu hỏi có thể được sử dụng như những cách khác nhau để biểu diễn các toán tử như vậy trên không gian Hilbert.
Câu trả lời của tôi https://physics.stackexchange.com/a/582216nêu một số nhận xét chung về các hình biểu diễn. Thông điệp trung tâm là bản thân không gian Hilbert hầu như không cho chúng ta biết gì về một lý thuyết. Mẫu vật có thể quan sát được mới là điều quan trọng. Các cách khác nhau để biểu diễn không gian Hilbert có thể ít nhiều thuận tiện cho các mẫu vật quan sát khác nhau, nhưng vật quan sát mới là điều quan trọng.
Có, có nhiều lý thuyết trường fermionic khác nhau. Người Hamilton$H$bản thân nó có thể đủ để phân biệt giữa một số trong số chúng, nhưng Hamilton chỉ là một toán tử. Mối quan hệ giữa Hamilton và các vật thể quan sát khác rõ ràng hơn, và mối quan hệ như vậy được ngụ ý bất cứ khi nào chúng ta thể hiện$H$xét về các nhà khai thác trường, vì các khả năng quan sát khác cũng được thể hiện theo các nhà khai thác trường. Lưu ý rằng các phần tử quan sát phải đi lại với nhau ở khoảng cách xa nhau (đây là một trong những nguyên tắc quan hệ nhân quả), vì vậy một phần có thể quan sát nhất thiết phải liên quan đến tích số chẵn của các toán tử trường chống ngắt tiếng.
Nhân tiện, thỉnh thoảng, tôi thấy tên "fermion" được sử dụng như một từ đồng nghĩa với một thứ có spin là bội số lẻ của $\hbar/2$. Trong lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, mối liên hệ thống kê spin biện minh cho ngôn ngữ này. Nhưng nhìn chung, kết nối đó không được giữ vững: một fermion (thứ mà các toán tử trường không tắt tiếng) không nhất thiết phải có một spin như vậy, hoặc ngược lại.