Manifolds là bộ Borel

Question

Xem xét $M\subseteq \mathbb{R}^n$, một (nhúng) $C^{k\geq 1}$ nhiều thứ khác nhau.

Là $M$ Borel?

Tôi nghĩ là có nhưng tôi gặp khó khăn trong việc chứng minh điều này. Đối với một số ngữ cảnh, tôi đã kiểm tra rằng các tích phân trên đa tạp đối với các phép đo Hausdorff có ý nghĩa hay không.

Thử của tôi:

1. Đồ thị của các hàm liên tục là Borel: let $U$ cởi mở và $f:U \rightarrow \mathbb{R}^q$liên tục. Để cho$\phi(x)=(x,f(x))$, một hàm liên tục. Chúng tôi có thể viết$U=\bigcup_n K_n$ cho một số bộ nhỏ gọn $K_n \subseteq U$ và do đó $\text{graf}f=\phi(U)=\bigcup_n\phi(K_n)$, do đó, biểu đồ của $f$ là liên hiệp có thể đếm được của các bộ nhỏ gọn (do đó Borel).
2. Một đa tạp "có thể đếm được cục bộ" là biểu đồ của một $C^k$ chức năng: ý tôi là $M$ là liên hiệp có thể đếm được của các biểu đồ của một số $C^k$chức năng. Ở đây tôi đang bị mắc kẹt. tôi biết điều đó$M$cục bộ là một biểu đồ, nhưng tôi không thể nhận được thuộc tính đếm được. Tôi đã nghĩ đến việc sử dụng mật độ của các số hữu tỷ trong các số thực nhưng tôi không chắc liệu đây có phải là cách để đi hay không, vì tôi không chắc rằng khả năng đếm thứ hai của$M$ được đảm bảo với định nghĩa của tôi về đa tạp (xem bên dưới).

Bạn có gợi ý nào về cách vượt qua điểm 2 không, miễn là yêu cầu của tôi là đúng?

---

$M\subseteq \mathbb{R}^n$ là một nhúng $C^{k\geq 1}$ $m-$đa tạp nếu cho mọi $p$ trong $M$ có tồn tại $U\subseteq \mathbb{R}^m$ mở và $\phi:U\rightarrow M$ Của Lớp $C^{k}$ như vậy mà:

• $\phi(U)$ là một khu phố của $p$, mở ra $M$
• $\phi$ là một dạng homeomorphism trên hình ảnh của nó
• $d\phi$ ở khắp mọi nơi bị thương

Answer 1

$\bullet$ $\mathbb R^n$ có thể đếm được thứ hai với cơ sở có thể đếm được $B$ cho bởi tất cả các quả bóng có bán kính và tâm hợp lý.

$\bullet$ Không gian con của không gian đếm được thứ hai có thể đếm được thứ hai: Nếu $Y\subseteq X$ và $B$ là cơ sở có thể đếm được cho $X$, sau đó $\{U\cap Y: U\in B\}$ là cơ sở có thể đếm được cho $Y$.

$\bullet$Khoảng trống có thể đếm thứ hai là Lindelöf: Mọi trang bìa mở đều thừa nhận một bìa phụ có thể đếm được (xem ví dụ tại đây hoặc tại đây ).

Vì vậy, một submanifold được nhúng $M$ của $ \mathbb R^n$ là "có thể đếm được cục bộ" là đồ thị của một hàm liên tục, kết thúc bằng chứng của bạn.