$\mathbb{P}(X>Y)$ và phân phối đồng đều

Question

Tôi không hiểu tại sao, đối với một tam giác được xác định trên $(0,0)$,$(0,2)$ và $(2,0)$ và mật độ khớp $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$, Tôi có được:

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($diện tích tam giác $(0,0)$,$(2,0)$ và $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

Tôi sai ở đâu nếu chúng ta có $0<y<x<2$?

Cảm ơn trước vì đã làm rõ.

Answer 1

Tôi sai ở đâu nếu chúng ta có 0 <y <x <2?

Như tôi đã nói với bạn, trong mọi trường hợp, bản vẽ có thể giúp

Mục đích của bạn là tích hợp các denisty chung trên hình tam giác màu tím. Trong trường hợp này, thứ tự tích hợp tốt nhất là "Y-simple"

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Bạn cần $y$ ít hơn $x$ và ít hơn $2-x$, hoặc nói khác đi $y< \min(x,2-x)$. Vì vậy, tích phân đúng là \ begin {align *} \ mathbb {P} (X> Y) & = \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min (x, 2-x)} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf (x, y) \: dy \: dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \: dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \: dx \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align *}