Mô-đun của loạt Ramanujan-Sato

Question

Loạt Ramanujan-Sato $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ của cấp độ 1 tổng quát công thức của Ramanujan cho $\frac1\pi$, Ở đâu $q=e^{2\pi i\tau}$. Đây,$j$ là Klein $j$-invariant và $E_k$là loạt Eisenstein. Do căn bậc hai, nó dường như không phải là một hàm mô-đun cho một nhóm con đồng dư của$SL(2,\mathbb Z)$. Tuy nhiên, vì nó liên quan đến Klein$j$-invariant bởi $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ nó dường như đáp ứng một phương trình đa thức mô-đun trong $j$ mức độ $2$, cho thấy rằng $j^*$ là mô-đun cho một nhóm con chỉ mục 2 của $SL(2,\mathbb Z)$. Điều này có đúng không? Và nhóm bất biến sẽ là gì?

Mọi khuyến nghị về tài liệu sẽ hữu ích nhất, cảm ơn nhiều!

Answer 1

Nó là $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Vì vậy, chúng tôi đang xem xét mô-đun của $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ là holomorphic khác 0 tại $e^{2i\pi /3}$ trong khi $j(\tau)$ không có thứ tự $3$ (không phải $6$!!!) tại $e^{2i\pi /3}$, do đó $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ và do đó $j^*(\tau)$ có một điểm chi nhánh tại $e^{2i\pi/3}$, chúng không phải là mô-đun.

Tuy nhiên, chúng được tự động hóa trên một tấm bìa kép của đường cong mô-đun.

Lưu ý rằng $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ là holomorphic vì các số 0 duy nhất của $j(\tau)-1728$ gấp đôi ở $SL_2(\Bbb{Z})i$. Nó là$2$- kinh nghiệm và $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ Ở đâu $\chi$ là nhân vật $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ Được định nghĩa bởi $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ yếu tố nào thông qua $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, trong thực tế $\ker(\chi)$ là các ma trận có giảm $\bmod 2$ Là $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.