Nghi ngờ về bằng chứng của sự lặp lại Moser trong cuốn sách của Gilbarg & Trudinger

Question

Tôi đang đọc Định lý 8.15 về Sự lặp lại Moser trong chuyên khảo của Gilbarg và Trudinger. Tôi hiểu tất cả các bước của bằng chứng đã cho, nhưng tôi có những nghi ngờ sau đây mà không thể giải đáp được bằng cách đọc kỹ.

1. Các tác giả, với tư cách là giả thuyết cho định lý, yêu cầu rằng $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ và $g\in L^{q/2}(\Omega)$ cho một số $q>n$ nhưng có vẻ như họ đã không sử dụng những dữ kiện này ở bất cứ đâu trong bằng chứng: điều này có đúng không và nếu không, thì những dữ kiện này được sử dụng ở những bước nào?

2. Định lý có thất bại đối với $q\le n$?

Xin hãy giúp tôi để hiểu đầy đủ chứng minh này.

Ở đây tôi đã tải lên một ảnh chụp nhanh của định lý.

Phương trình 8.3

\ begin {method} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {method} .

Phương trình 8.30

\ begin {method} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {method}

Phương trình 8.32

\ begin {method} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {method}

Phương trình 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Mọi gợi ý trợ giúp sẽ được đánh giá rất cao

Answer 1

nó chắc chắn cần điều kiện $f^i\in L^q(\Omega)$ và $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. Trong quá trình chứng minh, người ta cần chọn $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(phương trình trên (8.37)). Điều này có thể thực hiện được nếu và chỉ khi$q>\hat n$.

2. Định lý nói chung không thành công cho $q\leq n$. Người ta có thể nhận được một số manh mối từ$W^{2,p}$ước lượng của phương trình elliptic. Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt,$f=0$ và $Lu=g$ với $u=0$trên ranh giới. Các$W^{2,p}$ đại khái là $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Nhắc lại định lý nhúng Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ nếu $q>n$, trong khi điều này không đúng khi $q\leq n$.

Đối với một ví dụ phản chứng, người ta chỉ có thể lấy một phần tử $g\in W^{2,n/2}$ nhưng không phải trong $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Sau đó$$\Delta u=\Delta g$$ có một giải pháp $u$ trong khi (8.34) không thể đúng.