Nhóm Clifford có hữu hạn không?

Question

Đối với bất kỳ cố định $n$, làm thế nào để chúng tôi chứng minh rằng $n$-qubit nhóm Clifford (nhóm con của $ U(2^n) $được tạo ra bởi cổng Hadmard, cổng chuyển pha và cổng CNOT) là finte hay không? Tôi biết rằng đối với trường hợp qubit đơn, trong đó chỉ có cổng H và cổng S liên quan, nó là một nhóm hữu hạn vì hai cổng này tương ứng với$\pi$các phép quay trên hình cầu Bloch dọc theo các trục thể hiện tính đối xứng. Tôi đoán nó vẫn là hữu hạn trong trường hợp nhiều qubit nhưng tôi không thể tìm ra cách để chứng minh điều đó một cách chặt chẽ.

Hơn nữa, nếu nó là hữu hạn, thì biểu thức của số phần tử trong nhóm là một hàm của $n$?

Answer 1

Đôi khi, có một chút nhầm lẫn xung quanh nhóm Clifford trong lĩnh vực này ... và đó là vấn đề của định nghĩa.

Nhiều người định nghĩa nhóm Clifford $\mathrm{Cl}_n(p)$ của $n$ qudits của thứ nguyên nguyên tố $p$là bộ chuẩn hóa đơn nhất của nhóm Pauli tổng quát (ví dụ: Gottesman, Nielsen & Chuang). Như vậy, rõ ràng nó không phải là một nhóm hữu hạn vì trung tâm là$U(1)$.

Tuy nhiên, đây cũng là một định nghĩa không tốt, theo cả quan điểm toán học và vật lý. Tại sao? Thứ nhất, bởi vì trung tâm nhàm chán về mặt toán học và không thêm bất cứ điều gì vào cấu trúc của nhóm và thứ hai, bởi vì giai đoạn tổng thể của một đơn thể là phi vật lý.

Có ba cách để giải quyết vấn đề này:

1. Xác định nó bằng máy phát điện (xem bài báo của Gottesman về máy phát điện có kích thước cao hơn). Sau đó, rõ ràng rằng nó là hữu hạn vì tất cả các trình tạo đều có các mục nhập ma trận đại số. Sử dụng bộ tạo tiêu chuẩn, bạn vẫn sẽ nhận được tâm quá lớn trong trường hợp qubit:$\mathbb{Z}_8$. Điều tối thiểu là$\mathbb{Z}_4$ trong trường hợp qubit, một $\mathbb{Z}_p$trong trường hợp qudit. Xác định lại$H$ cổng như $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ làm cho trung tâm nhỏ nhất đối với qubit.
2. Bạn có thể xác định nó là bộ chuẩn hóa trong nhóm đơn nhất với các mục trong $\mathbb{Q}[i]$(số phức hữu tỉ). Điều này sẽ cung cấp cho bạn một nhóm có trung tâm tối thiểu (xem hướng dẫn 1).
3. Xác định nhóm xạ ảnh $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, hoặc tương đương, hình ảnh dưới biểu diễn liền kề, tức là ~ các kênh đơn nhất liên quan đến Vách đá. Các phần tử của nó có thể được coi là hoán vị của các toán tử Pauli (có thể có thêm các pha) để bảo toàn các quan hệ giao hoán. Vì có$p^{2n}$ Toán tử Pauli, số lượng hoán vị là hữu hạn (và do đó $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Hơn nữa, nó giữ$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ Ở đâu $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ là nhóm Pauli (tổng quát) lên đến các giai đoạn và $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ là nhóm tổng hợp trên trường hữu hạn $\mathbb{F}_p$. Bản chất của nó là$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Do đó, nhóm Clifford xạ ảnh có tính chất $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Đối với những cái không xạ ảnh, người ta phải nhân với thứ tự của tâm. Để tham khảo, hãy xem ví dụ: Tham khảo. 2

Người giới thiệu:

1. Gabriele Nebe, EM Rains, và NJA Sloane. "Các bất biến của các nhóm Clifford"
2. D. Gross, "Định lý Hudson cho hệ lượng tử hữu hạn chiều"