Ong mật

Question

Một con ong mật say rượu đáp xuống một hình lục giác hoàn toàn ngẫu nhiên của một phần hình tam giác lớn (mô tả bên dưới) trong tổ của nó, và sau đó cứ sau mỗi giây, đi một bước đến một hình lục giác liền kề hoàn toàn ngẫu nhiên. Trung bình mất bao lâu để ong mật thoát khỏi vùng này?

Đây là kết quả biến đổi của riêng tôi về một bài toán xác suất hiện có. Gợi ý: Giải pháp (cho trường hợp đã cho này) sẽ là một số nguyên!

Answer 1

Để cho $n$ là kích thước của tam giác và $(a,b,c)$ tọa độ trung tâm của một lục giác nhất định trong tam giác đó, sao cho $a+b+c = n+2$. Tôi khẳng định rằng thời gian thoát trung bình$E$ khi bắt đầu từ hình lục giác đó là $\frac {3abc} {n+2}$(1). Thật vậy, ta có hệ phương trình$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
và sẽ dễ dàng kiểm tra xem $E$ được cho bởi (1) thỏa mãn các phương trình này và các điều kiện biên là $E(a,b,c) = 0$ nếu $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Nó vẫn ở mức trung bình so với điểm xuất phát: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ Tổng có thể được công nhận là phụ thuộc vào hệ số nhị thức $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ năng suất $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Để có được một số trực giác cho công thức $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$nhớ lại rằng hệ số nhị thức trên lhs có thể được hiểu là thể tích (số viên đạn đại bác) trong một đống súng thần công hình chóp 2n + 1 chiều với N viên đạn đại bác dọc theo mỗi cạnh. Điều này có thể được hiển thị bằng đối số sao và thanh thông thường sử dụng tọa độ trung tâm.

Nguồn: miền công cộng wikipedia

Để sự tinh tế của sự tùy ý sang một bên, hãy để chúng tôi chiếu $2n+1$-simplex (có $2n+2$ tọa độ trung tâm) đến $n$-simplex (có $n+1$tọa độ barycentric) đơn giản bằng cách ghép nối các cặp tọa độ và tổng các cặp. Bây giờ chúng ta có thể hỏi hình dạng và thể tích của tập con của đơn giản lớn được ánh xạ tới một điểm duy nhất trong đơn giản nhỏ là gì? Người ta có thể nhận ra rằng nó phải là một khối lập phương (siêu), nhưng có thể dễ dàng hơn nếu chỉ nhìn vào một bức ảnh:

Nguồn: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen