$p$đại diện -adic

Question

Tôi đang đọc về $p$đại diện -adic. Tôi dường như không thể hiểu làm thế nào$p$đại diện -adic là một loại hình ảnh phản chiếu của cơ sở $p$ biểu diễn của số thực.

Được $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ với

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

chúng tôi có thể viết $\alpha$ như $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Tôi dường như không thể hiểu cách chúng ta có thể cộng và nhân $p$số -adic. Ai đó có thể giải thích bằng một ví dụ cụ thể? Có khả năng ($\cdots 555.5)^2$ trong $\mathbb Q_{7} $ vì tôi đọc về nó và không thể hiểu được gì cả?

Answer 1

Khuyến nghị của tôi là: hãy chuẩn bị cho mình một bảng cộng và một bảng cửu chương cho các số nguyên $0,1,\dots,6,7$, được ký hiệu $0,1,\dots,6,10$trong ký hiệu vách ngăn. Sau đó, tiến hành phép nhân của bạn theo đúng cách mà (tôi hy vọng rằng) bạn đã học ở trường tiểu học, với mang, v.v. Bạn sẽ thấy một mô hình, vì$\dots555;5$ là số hữu tỉ $\frac{-5}{42}$, nhưng phải mất một lúc để nó hiển thị. Đến ba mươi vị trí, hình vuông của bạn ở trên hóa ra là$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Mặc dù tôi đã làm rất nhiều $p$-adic tính toán kiểu này bằng tay, tôi đảm bảo với bạn rằng đối với phép tính này, tôi đã có sự trợ giúp của một gói xử lý $p$số -adic.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ và $\Bbb{Q}_7$ đang hoàn thành $\Bbb{Z}$ và $\Bbb{Q}$ cho giá trị tuyệt đối $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Sau đó, nó hoạt động giống như đối với$\Bbb{R}$ sự hoàn thành của $\Bbb{Q}$ cho $|.|_\infty$. Gần đúng chính xác chuỗi của bạn$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ bởi $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, nhân dưới dạng số hữu tỉ tiêu chuẩn, bạn nhận được giá trị gần đúng là $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$