Ràng buộc về giá trị số ít

Question

Để cho $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$là một ma trận phản đối xứng. Có giới hạn dưới / giới hạn trên hoặc bằng nhau liên quan đến hai đại lượng không$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ Phía bên tay phải là bình phương của giá trị nhỏ nhất của $A$. Cũng lưu ý rằng$u^* A u$ phải là tưởng tượng thuần túy trong khi $u^* A^T A u$ phải có thật.

Thật vậy, bình luận dưới đây của Stephen cho thấy phần bên trái bằng không. Còn về ma trận tổng quát$A$, không nhất thiết phải phản đối xứng?

Answer 1

Cảm ơn Stephen đã chỉ ra bất đẳng thức Cauchy-Scharz: chúng tôi có $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ cho vector bình thường $u$ và ma trận thực $A$, vì thế $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ cho bất kỳ ma trận thực nào $A$. Phía bên trái là số 0 cho phản đối xứng$A$.