Sản phẩm của phần tử Drinfeld?

Question

1. Vấn đề
Hãy$(H,R)$ là một đại số Hopf gần như tam giác, hữu hạn chiều với phản mã $S$ và đồng sản phẩm $\Delta$. Sử dụng ký hiệu Sweedler xác định phần tử Drinfeld$u$ như $u:= S(R_{(2)})R_{(1)}$. Một văn bản tôi đang đọc đề xuất (không có bằng chứng) rằng phần tử Drinfeld là một phần tử giống như một nhóm có điều khoản hiệu chỉnh, tức là danh tính sau đây được giữ nguyên:

$$\Delta (u)=\overline R \cdot \overline R_{21} \cdot (u \otimes u).$$

Đây $\overline R = R^{-1}$ và $\overline R_{21}= \tau_{H,H}(R)^{-1} $ với $\tau_{H,H}$ bản đồ xoắn trên $H$.
Tôi không thể chứng minh danh tính này.

2. Suy nghĩ của tôi cho đến nay
Một cách khác để suy nghĩ về nó: Bản sắc trên tương đương với việc nói rằng$Q \cdot \Delta (u)= u \otimes u$ (hoặc tương đương $\Delta (u) \cdot Q = u \otimes u$) với $Q:=R_{21}\cdot R_{12}$ phần tử monodromy.

Tôi đã thử sử dụng thực tế rằng $S^2(h)=uhu^{-1}$ cho tất cả $h \in H$ (tức là viết $u$ như $u:= S^{-1}(S^2(R_{(2)}))R_{(1)}$, bộ giải mã không thể đảo ngược vì chúng ta là hữu hạn chiều), và sau đó sử dụng $S$là một phép đồng cấu phản đại số và sản phẩm đồng cấu là một phép đồng cấu đại số. Hơn nữa, tôi đã thử sử dụng các thuộc tính xác định của đại số Hopf hình tam giác (thứ hai và thứ ba ở đây liên hệ sản phẩm đồng dạng với phổ$R$-matrix) - không thành công.

Answer 1

Một phép tính khá tẻ nhạt và phức tạp để chứng minh danh tính có thể được tìm thấy trong bài báo năm 1989 của Drinfeld Về đại số Hopf gần như đồng nghĩa , được xuất bản trên tạp chí Toán học Leningrad . Xem ở trang 7 của tài liệu này (trang 327 trong tạp chí).