Sơ đồ Heegard cho ba đa tạp

Question

Tôi có một câu hỏi cơ bản về các sơ đồ Heegaard liên quan đến việc cung cấp một khuôn khổ để tính toán Floer-Homology của ba đa tạp.

Điển hình là sơ đồ như vậy trông giống như Hình 1 và Hình 2 đây hoặc hai (những Image1 hoặc IMAGE2 ) từ mạng ResearchGate.

Và tôi sẽ rất biết ơn nếu ai đó có thể cố gắng giải thích cách "đọc" sơ đồ này cho một người không phải là nhà cấu trúc học.

Chúng ta thấy một bề mặt đặc, có thể được giả định là ranh giới của ba đa tạp nhất định, và lý thuyết về các bề mặt nén nói rằng bề mặt này đạt đến tính đồng cấu luôn là tổng kết nối của $g$ tori cho $g \ge 1$. Nhìn vào hình ảnh trong Image2 trong hai liên kết cuối cùng, chúng tôi tìm thấy hai tập hợp$g$ đường cong rời rạc ("đội đỏ" $\alpha_0,..., \alpha_g$ và "đội xanh" $\beta_0,..., \beta_g$).

Bây giờ thông tin này cung cấp hướng dẫn để xây dựng một đa tạp ba như thế nào?

Dự đoán không phải chuyên gia của tôi là dữ liệu này cho chúng ta biết: Bắt đầu với hai đa tạp ba phân biệt giống hệt nhau có hai $g$-tori như các bề mặt và dữ liệu được cung cấp bởi các sơ đồ Heegaard này không gì khác ngoài hướng dẫn cách dán hai ba-đa tạp dọc theo các bề mặt. Hướng dẫn có thể nói rằng đường cong$\alpha_i$ của một bề mặt phải được dán bằng hình dạng đồng $\beta_i$cho bề mặt khác. Và dường như nếu chúng ta biết tất cả các cặp đường cong$\alpha_i$ và $\beta_i$ được dán lại với nhau, sau đó việc dán của hai bề mặt đã được xác định duy nhất tùy thuộc vào tính đồng chất và do đó chúng ta biết cách dán hai phân phối ba rời rạc cũng là ranh giới.

Đây có phải là cách chính xác để đọc sơ đồ Heegaard không? Có tồn tại một cách thông thường hơn không? Xin lỗi, nếu câu hỏi quá sơ đẳng, tôi không phải là nhà cấu trúc liên kết đại số và động cơ của câu hỏi này là sự tò mò thuần túy.

Answer 1

Chương bốn của "Núm, liên kết, bện và 3-Manifolds" của Prasolov và Sossinsky cung cấp một phần giới thiệu rất dễ đọc (và được minh họa độc đáo) về ba đa tạp thông qua phép tách Heegaard. Một tài liệu tham khảo khác, cổ điển hơn, là chương hai của "Ba đa tạp" của Hempel. Lưu ý rằng Hempel gọi tay cầm là "hình khối có tay cầm".

Answer 2

Bạn có thể quen thuộc với các định nghĩa và định lý. Nhưng tôi thích viết những điều đó cho hoàn chỉnh. Và cũng là cớ cho một bức vẽ giống như sơn. Tôi hy vọng rằng chúng sẽ hữu ích.

Một tay cầm của chi$g$ là một $3$-manifold được xây dựng từ standart $3$-trái bóng $B^3$ bằng cách thêm $g$ bản sao của $1$-các tay cầm $B^2 \times B^1$. Nó được ký hiệu là$H$ và $\partial H \approx \Sigma_g$ Ở đâu $\Sigma_g$ là một chi $g$ bề mặt, xem các hình sau.

Để cho $Y$ là một $3$-nhiều thứ khác nhau. Một Heegaard tách của$Y$ là sự phân hủy của $Y$ như vậy mà

• $Y=H_0 \cup H_1$ Ở đâu $H_0$ và $H_1$ là tay lái,
• $\partial H_0 = \partial H_1 = \Sigma_g$.

Định lý (Singer, 1933): Bất kỳ đa tạp 3 hướng đóng nào$Y$ thừa nhận một Heegaard tách ra.

Chi $g$-bề mặt $\Sigma_g$ được xây dựng từ $S^2 = \mathbb{R}^2 \cup \{ \infty \}$ bằng cách đính kèm $g$ bản sao của $1$-handles, nơi chúng tôi vẽ các quả cầu đính kèm dưới dạng cặp đĩa phù hợp.

Vì vậy, những điều sau đây là sự chia tách của Heegaard $S^3$ và $S^1 \times S^2$ tương ứng:

Sau đây là biểu đồ Heegaard về không gian thấu kính $L(5,2)$:

Và sơ đồ cuối cùng dành cho quả cầu tương đồng Poincaré nổi tiếng $\Sigma(2,3,5)$: