Supremum của $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Để cho $\varphi$là tỷ lệ vàng. Quyền tối cao của$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Ý tưởng của tôi là chúng ta có thể xem xét chuỗi các chức năng $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ cho các số Fibonacci $F_n$, hội tụ với $f(x)$. Trình tự$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ thỏa mãn $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, để nếu chúng ta chọn đúng $a_n$, sau đó $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; thay đổi vấn đề thành một với một số nguyên thay vì$\varphi$, nhưng tôi không chắc sẽ tiếp tục ở đâu từ đây.

Answer 1

Rõ ràng mức tối đa được giới hạn ở trên bởi $2$, như mỗi thứ $\sin$ có tối đa $1$.

Bạn nhận được mức tối đa cho chức năng đầu tiên khi $\sin x = 1$ hoặc là $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ cho một số số nguyên $k_1$và tương tự như vậy khi $\sin (\phi x) = 1$ hoặc là $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Một chút thao tác cho:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Bởi vì $\phi$ không hữu tỉ, người ta không thể giải phương trình này chính xác cho $k_1$ và $k_2$. Tuy nhiên, bạn có thể ước tính điều này một cách chặt chẽ tùy ý bằng cách chọn$k_2$ cực kỳ lớn (ví dụ: $10^{1000}$), và giải quyết cho $k_1$. Bằng cách này, bạn có thể đến gần$f(x) = 2$ như bạn muốn.