Tại sao $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Vấn đề của tôi:

Giả sử $\mathcal{E}$ và $\mathcal{H}$ là phụ$\sigma$-các đại số của $\sigma$-đại số học $\mathcal{F}$. Để cho$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ và $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Giả sử rằng$\mathcal{E}$ độc lập với $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Sau đó $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Nỗ lực của tôi:

Tôi đã thử sử dụng mô tả $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ cho tất cả $\mathcal{H}$- biến ngẫu nhiên có thể đo lường và giới hạn hoặc $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ cho tất cả $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$- biến ngẫu nhiên có thể đo lường và giới hạn.

Answer 1

Đây là kết quả được Doob biết đến.

Định lý: Cho$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ và $\mathscr{C}$ được phụ--$\sigma$- đại số của $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ cho tất cả $A\in \mathscr{A}$.

Đây là một bằng chứng bắn:

Giả sử rằng $\mathscr{A}$ và $\mathscr{B}$ có điều kiện độc lập được đưa ra $\mathscr{C}$, đó là $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ cho tất cả $A\in \mathscr{A}$ và $B\in \mathscr{B}$. Sau đó, đối với bất kỳ$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ và $C\in\mathscr{C}$ chúng ta có $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Từ $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, một đối số lớp đơn điệu cho thấy rằng $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ cho tất cả $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Điều này có nghĩa rằng$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Ngược lại, giả sử rằng $\eqref{doob-independence}$nắm giữ. Bất cứ gì$A\in\mathscr{A}$ và $B\in\mathscr{B}$ chúng ta có \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Điêu nay cho thây răng $\mathscr{A}$ và $\mathscr{B}$ được đưa ra độc lập $\mathscr{C}$.

Việc mở rộng cho các biến ngẫu nhiên được thực hiện bằng cách mở rộng trước tiên cho các hàm đơn giản và sau đó là phép xấp xỉ đơn điệu thông thường bằng các hàm đơn giản.