Tại sao thực với hoạt động $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ là một nhóm?
Phép toán trên là một nhóm cho các số thực, vì 0 là phần tử nhận dạng và số âm của bất kỳ số thực nào là nghịch đảo của nó, vì nó có thể được quan sát một cách nhỏ nhặt. Sự liên kết ít tầm thường hơn, nhưng nó đúng.
Trong thực tế, nếu chúng ta thay 3 cho bất kỳ số lẻ nào (5, 7 ...), phép toán thỏa mãn các thuộc tính của nhóm. Tuy nhiên, bất kỳ số chẵn nào cũng không thành công.
Có bất kỳ giải thích hình học / phân tích / ... tại sao một hoạt động như $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ là liên kết và kết quả là nó cung cấp cấu trúc của một nhóm cho thực?
Trả lời
Để cho $G$ là bất kỳ nhóm nào, $X$ là bất kỳ bộ nào, và $f: X \rightarrow G$là bất kỳ sự phản đối nào. Sau đó, chúng ta có thể chuyển cấu trúc nhóm từ$G$ đến $X$ bằng cách thiết lập $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Đó là, chúng tôi sử dụng bijection$f$ để xác định các yếu tố của $G$ và các yếu tố của $X$và đặt cấu trúc nhóm $X$sử dụng nhận dạng này. Tôi sẽ để nó như một bài tập mà điều này thực sự xác định cấu trúc nhóm trên$X$.
Bây giờ, lấy $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ và $f(x)=x^3$ để khôi phục trường hợp của bạn.
Nếu $f$ là bất kỳ sự từ chối kỳ quặc nào của các số thực sau đó là hoạt động
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
biến thực thành một nhóm và $f$một đẳng cấu từ nhóm cộng của thực với nhóm đó. Trong trường hợp của bạn$f(x)=x^3$. Sự liên kết xuất phát từ thực tế rằng$f$ là một phép đồng hình. $0$ là phần tử trung lập và $-x$ là nghịch đảo của $x$. Đây thực tế là$f$ là lẻ được sử dụng.
Đối với một sự từ chối tùy ý$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, hoạt động $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ là luật nhóm về $\mathbf R$. Tất cả điều này nói lên rằng nếu bạn đổi tên từng số thực$x$ như $f(x)$ thì bạn có thể chuyển đổi luật nhóm ban đầu $+$ thành một luật nhóm $*$ vậy nên $f$ là một đẳng cấu từ $(\mathbf R, *)$ đến $(\mathbf R,+)$. Trực giác là đại số, không phải hình học. Không có gì kỳ diệu về$n$rễ thứ cho lẻ $n$ khác hơn là một sự phản đối.
Hàm tiếp tuyến hypebol $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ là một bijection cho phép bạn vận chuyển bổ sung trên $\mathbf R$ luật nhóm về $(-1,1)$được sử dụng trong thuyết tương đối hẹp (phép cộng vận tốc trong chuyển động một chiều). Nghịch đảo của sự phân biệt này, tính đến một hệ số tỷ lệ, được gọi là "tính nhanh" trong vật lý.
Câu trả lời ngắn gọn: bởi vì $\sqrt{x^2}\ne x$ cho $x<0$.
Câu trả lời dài, trong đó tôi thích $\cdot$ đến $\bullet$:
Một hoạt động thỏa mãn $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ đóng thực, vì nếu $n$ thật kỳ lạ, chúng ta có thể lấy $n$gốc thứ, & nếu $n$ thậm chí chúng tôi chỉ cố gắng lấy $n$gốc thứ của cái gì đó $\ge0$. Và kể từ khi$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$các liên kết hoạt động. (Hủy bỏ sức mạnh của$n$ là tầm thường vì, ngay cả khi $n$ là thậm chí, $\cdot$ luôn được định nghĩa để lấy giá trị không phủ định $n$root th.) Vì vậy, ở mức tối thiểu, chúng tôi tạo thành một nhóm bán lẻ.
Từ $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, cho lẻ $n$ chúng tôi cũng có $0$ như một danh tính, nhưng ngay cả $n$ chúng tôi không vì $x\cdot0=|x|$, vì vậy nó thậm chí không phải là một đơn nguyên, chứ đừng nói đến một nhóm . Tiên đề nhóm cuối cùng là nghịch đảo, có tác dụng đối với số lẻ$n$ như bạn đã lưu ý, nhưng đối với $n$ chúng ta có $x\cdot y\ge|x|$, vì vậy chúng tôi cũng không có nghịch đảo.
Gợi ý :
Sự liên kết chỉ đơn giản là kết quả của thực tế là cả hai $\;(x\bullet y)\bullet z$ và $\;x\bullet( y \bullet z)$ bằng $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$