Thành phần phần tử nhóm con

Question

Hãy xác thực bằng chứng sau đây.

---

Để cho $H$ là một nhóm con của nhóm Abelian $G$ với các yếu tố $h \in H$ và $g \in G$ nhưng $g \notin H$.

Định lý

Sản phẩm $gh \notin H$.

Bằng chứng

Để cho $x = gh$. Giả định$x \in H$, sau đó nhân với $h^{-1} \in H$ chúng tôi có cái đó $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Vì vậy, chúng tôi đã bao gồm hai yếu tố$H$ và thu được một phần tử $g \notin H$ và điều này vi phạm việc đóng nhóm con, do đó $gh \notin H$. $\square$

Answer 1

Giả thuyết: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.

Giả sử rằng $gh\in H$ và chúng ta sẽ có một mâu thuẫn /

Từ $h\in H$ và $H$ là một nhóm con mà chúng tôi có $h^{-1}\in H$.

Từ $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ mâu thuẫn.

Tôi đã sử dụng thực tế rằng "nếu $a,b\in H\leq G$ sau đó $ab,ba\in H$"

Answer 2

Trong thực tế

Nếu $H$ là một nhóm con của $G$ và $h \in H$, sau đó cho tất cả $g \in G$ chúng ta có $gh \in H \iff g \in H$.

Thật, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Ngược lại,$g \in H \implies gh \in H$. Cả hai tuyên bố đều tuân theo vì$H$ là một nhóm con và do đó được đóng dưới các sản phẩm và nghịch đảo.

Answer 3

Đúng. Hoặc bạn có thể nói rằng bạn đã thể hiện$g\in H$. Dù thế nào đi nữa, mâu thuẫn. Điều đó hoàn thành bằng chứng.