Thứ tự các hàm liên tục tôpô

Question

Tôi gặp sự cố HW sau:

Để cho $$Y$$là một tập hợp có thứ tự trong cấu trúc liên kết có thứ tự. Để cho$$f, g: X \to Y$$liên tục. Chứng tỏ rằng bộ$$\{x|f(x) \leq g(x) \}$$ đã đóng cửa $X.$

Bằng chứng của tôi: Chúng tôi cho thấy rằng phần bổ sung $\{x|f(x) > g(x) \}$đang mở. Quan sát điều đó$\{f(x)|f(x) > g(x) \}$là mở bởi vì nó là một tia mở. Vì vậy, hình ảnh nghịch đảo$f^{-1}(\{f(x)|f(x) > g(x) \}) = \{x|f(x) > g(x) \}$ sẽ được mở bởi vì $f$ là liên tục.

Nhưng điều khiến tôi ngạc nhiên về bằng chứng này là tôi chỉ cần sử dụng tính liên tục của $f.$ Nếu tôi chỉ có sự liên tục của $g$thì tôi cũng có thể làm cho bằng chứng hoạt động. Vì vậy, tất cả những gì cần thiết có phải là sự liên tục của một trong các chức năng? Tôi đã thử với một vài ví dụ trong$\mathbb{R}$ và có vẻ như là như vậy, nhưng tôi không chắc chắn.

Answer 1

Đây là một ví dụ ngược lại nếu $g$không liên tục. Để cho$X=Y=\Bbb R$, để cho $f(x)=0$ cho tất cả $x\in\Bbb R$, và để

$$g(x)=\begin{cases} -1,&\text{if }x\le 0\\ 1,&\text{if }x>0\,. \end{cases}$$

Sau đó $\{x\in\Bbb R:f(x)\le g(x)\}=\{x\in\Bbb R:0\le g(x)\}=(0,\to)$, mà không được đóng.

Lập luận của bạn đi chệch hướng ngay từ đầu, bởi vì điều đó không nhất thiết là đúng $\{f(x):f(x)>g(x)\}$đang mở. Giả sử rằng$X=Y=\Bbb R$, $f(x)=0$ cho tất cả $x\in\Bbb R$và $g(x)=x$ cho tất cả $x\in\Bbb R$; sau đó

$$\{f(x):f(x)>g(x)\}=\{0\}\,,$$

mà không mở.

Tuy nhiên, ý tưởng cho thấy rằng $U=\{x\in X:f(x)>g(x)\}$mở là một trong những tốt. Để cho$x_0\in U$, $a=g(x_0)$, $b=f(x_0)$. Trước tiên, giả sử rằng có một số$c\in(a,b)$. Để cho$V_a=(\leftarrow,c)$ và $V_b=(c,\to)$; $V_a$ là một nbhd mở của $a$ trong $Y$và $V_b$ là một nbhd mở của $b$. Để cho$W_a=g^{-1}[V_a]$ và $W_b=f^{-1}[V_b]$; $f$ và $g$ liên tục, vì vậy $W_a$ và $W_b$ đang mở nbhds của $x_0$ trong $X$. Để cho$W=W_a\cap W_b$; $W$ là một nbhd mở của $x_0$và cho mỗi $x\in W$ chúng ta có $f(x)>c>g(x)$, vì thế $W\subseteq U$.

Nếu không có như vậy $c$, sau đó $b$ là người kế nhiệm ngay lập tức của $a$ trong $Y$. Trong trường hợp đó, hãy$V_a=(\leftarrow,b)=(\leftarrow,a]$ và $V_b=(a,\to)=[b,\to)$ và tiến hành xác định $W_a,W_b$và $W$như trước. Nếu$x\in W$, sau đó $f(x)\in V_b$, vì thế $f(x)>a$, trong khi $g(x)\in V_a$, vì thế $g(x)\le a$, và do đó $f(x)>g(x)$, I E, $x\in U$. Do đó, trong trường hợp này, chúng tôi cũng thấy rằng$x_0\in W\subseteq U$. Tóm lại, mọi điểm của$U$ có một nbhd mở được chứa trong $U$, vì thế $U$ đang mở, như mong muốn.