Tìm giới hạn của 2 dãy

Question

Tôi có 2 chuỗi tôi phải tìm giới hạn. Nhưng tôi không chắc liệu mình đã chứng minh điều này đủ đúng chưa hay có cách nào tốt hơn để làm như vậy.

(a) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$

(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , cho $a,b \gt 0$

Vì vậy, đối với (a) tôi có điều đó kể từ $(-1)^n$bị giới hạn, nó không liên quan với n lớn. Ngoài ra, (tôi không biết thuật ngữ chính xác cho điều này) vì$n^2$ chiếm ưu thế so với $n$, rất lớn $n$, giới hạn về cơ bản là $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.

Tôi không biết làm thế nào để viết điều này một cách chính xác vì điều này có vẻ khá chính thức và không được chứng minh.

cho (b) Tôi không chắc lắm. Đầu tiên, tôi đã thử tính một thứ gì đó ra nhưng tôi không đi được xa lắm. Bây giờ tôi đã sử dụng$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Kết quả này trong$\frac{c}{3c-b^n}$. Nhưng đó là nơi tôi mắc kẹt. Làm cách nào để tiếp tục việc này?

Answer 1

Đối với người đầu tiên chính thức hóa sử dụng

$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$

cho cái thứ hai chúng tôi có

$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$

sau đó xem xét các trường hợp $a>b$, $a=b$ và $a<b$.

Answer 2

Gợi ý: Để biện minh cho câu trả lời của bạn cho a) chia tất cả các điều khoản cho $n^{2}$ và có giới hạn.

Nếu $a>b$ chia tất cả các điều khoản cho $a^{n}$. Bạn thấy rằng giới hạn là$\frac 1 3$ (từ $(\frac b a)^{n} \to 0$). Nếu$a<b$ chia cho $b^{n}$ để thấy rằng giới hạn là $\frac 2 5$. Nếu$a=b$ thì giới hạn là $\frac {1+2} {3+5}$.