Tìm tất cả các hàm đa thức

Question

Tìm tất cả các đa thức $P(x)=a_0+a_1x+... a_nx^n; a_i \in Z$ như vậy mà $\forall x$:

$P(x)=(x-P(0))(x-P(1))...(x-P(n-1))$

Tôi đã thay thế một số giá trị như $0,1$để có được ý tưởng về các hệ số đa thức và cố gắng xem một số mẫu nhưng dường như nó không giúp được gì nhiều. Ngoài ra, liệu giải tích có thể đóng một vai trò ở đây vì chúng ta đã được cung cấp một hàm đa thức chứ không chỉ là một phương trình hàm nói chung?

Answer 1

Trước hết, hãy lưu ý rằng thuật ngữ hàng đầu của RHS luôn là $1$. Vì vậy, chúng tôi nhận được$a_n = 1$đầu tiên là. Thứ hai, thiết lập$x=0$ cho: \begin{align*} P(0) &= \prod_{i=0}^{n-1}-P(i)\\ &= (-1)^n \prod_{i=0}^{n-1}P(i)\\ &= P(0)(-1)^n \prod_{i=1}^{n-1}P(i) \end{align*}

Bây giờ, anh ta có hai trường hợp, tùy thuộc vào việc $P(0) = 0$ hay không.

Giả sử $P(0) \neq 0$ $$1 = (-1)^n \prod_{i=1}^{n-1}P(i)$$ Nhưng cho rằng $a_i \in Z$ nó theo sau đó $P(i) \in Z$ vì thế $P(i) = \pm 1$ cho $i > 0$. Vì vậy, chúng tôi suy ra phương trình sau:

$$ P(x)=(x-a_0)(x+1)^k(x-1)^{n-1-k} $$ với $n-1-k$kỳ quặc. Vì thế$P(1) = 0$ đó là một mâu thuẫn nếu mức độ $P$ lớn hơn $1$ và chúng ta nên kiểm tra xem $n=1$ bằng tay. $$ P(x) = x - P(0) \implies x + a_0 = x - a_0 \implies a_0 = 0$$ Sự mâu thuẫn.

Vì thế $P(0) = 0$. Để cho$P(x) = xQ(x)$. Sau đó nếu$Q$ không phải là một đa thức hằng số, $$ Q(x) = (x - Q(1))(x-2Q(2))...(x-(n-1)Q(n-1)) $$ Một lần nữa, hệ số hàng đầu bằng $1$. Cài đặt$x=m \in \{1,...,n-1\}$ cho $$Q(m) = (m-mQ(m))c_m = -mc_m(Q(m)-1) \implies \\ \frac{Q(m)}{Q(m)-1} = -mc_m \in Z $$ RHS chỉ có thể là một số nguyên khi $Q(m) = 0$ hoặc là $Q(m) = 2$. Dễ dàng thấy rằng điều đầu tiên không thể đúng. Bây giờ nếu$Q(m) = 2$ sau đó $Q(2) = 0$ đó là một mâu thuẫn trừ khi $Q$ có mức độ $1$. $$ Q(x) = x - Q(1) \implies x + c = x - (1+c) \implies c = -1/2$$ đó là một mâu thuẫn vì nó sẽ dẫn đến không phải là số nguyên $a_i$ trong $P(x)$.

Và chúng tôi đã hoàn thành, bởi vì không có giải pháp nào cho $Q(x)$ ngụ ý rằng $Q$ là hằng số cho biết rằng giải pháp duy nhất là $P(x) = x$.

CHỈNH SỬA: Trên thực tế, $Q(m) = 0$ hoặc là $2$một phần có vấn đề. Nó có thể là cái này hay cái khác và tôi chỉ cho thấy rằng nó không thể liên tục là cái này hay cái khác. Để vượt qua điều đó, chỉ cần lưu ý rằng$Q(1)$ không thể được $0$ khi nào $Q(2) = 2$.