Tính thống nhất có quyết định không?
Khi câu trả lời cho vấn đề Lüroth là khẳng định, thì các tiêu chí của chi (đối với đường cong) hoặc Castelnuovo (đối với các bề mặt đơn thế có thể phân tách) đưa ra các bất biến có thể tính toán được để quyết định xem một giống nhất định có phải là giống đơn nhất hay không.
Tôi quan tâm đến các trường hợp đơn giản nhất mà các ví dụ không hợp lý được biết đến: cụ thể là các bề mặt trên $\overline{\mathbb{F}_p}$ và gấp 3 lần $\mathbb{C}$.
Người ta biết liệu có tồn tại một thuật toán để xác định xem một số giống nhất định thuộc loại trên có phải là số hợp không?
Một hy vọng ngây thơ sẽ là tạo ra một ràng buộc về mức độ của một bản đồ hợp lý $\mathbb{P}^n \to X$ tuy nhiên điều này rõ ràng là không thể vì các bản đồ hợp lý $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ có mức độ không giới hạn.
Điều tốt nhất tiếp theo là đặt giới hạn trên có thể tính toán được ở mức độ tối thiểu của một bản đồ hợp lý như vậy. Những giới hạn như vậy có được biết đến với hai trường hợp tôi đã nêu ở trên không? Về nguyên tắc, các giới hạn như vậy có đủ để cung cấp một thuật toán không?
Trả lời
Đây là một vấn đề được nghiên cứu rộng rãi, và tôi nghĩ với công nghệ hiện tại thì có vẻ như điều này sẽ không được giải đáp. Hãy để tôi bám vào đặc điểm$0$vì sự đơn giản; câu chuyện trở nên phong phú hơn về đặc điểm tích cực (ngay cả khi bạn thêm tính từ 'tách biệt' ở khắp mọi nơi).
Các giống hợp nhất được kết nối một cách hợp lý, điều này ngụ ý $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ cho tất cả $m > 0$. Mumford phỏng đoán rằng điều này biến mất ngược lại ngụ ý rằng$X$được kết nối hợp lý, nhưng tôi nghĩ rằng ít người biết về phỏng đoán này. Ít nhất nếu bạn tin Mumford (và có thể với một ràng buộc về điều đó$m$ bạn phải thử, tương tự như tiêu chí của Castelnuovo), thì khả năng kết nối hợp lý sẽ có phần quyết định.
Tuy nhiên, một vấn đề mở nổi tiếng là liệu mọi giống được kết nối hợp lý có phải là hợp nhất hay không (tôi nghĩ mọi người cho rằng điều này là sai - tôi chắc chắn là vậy). Lý do chúng tôi không thể trả lời điều này là chúng tôi không có bất kỳ vật cản nào có thể phân biệt giữa hai thứ. Do đó, tôi nghĩ rất khó có khả năng chúng ta có thể đưa ra một đặc điểm quyết định liệu một giống có phải là giống cây trồng không.
Tôi không chắc tình trạng của tính hợp lý trong các gia đình là gì, nhưng tính hợp lý (ổn định) không phải là biến dạng bất biến của các giống xạ ảnh trơn của Hassett – Pirutka – Tschinkel . Vì vậy, các bất biến rời rạc [tức là hằng số cục bộ trong gia đình] như biến mất hệ phương trình không đủ để phát hiện tính hợp lý (ổn định), và rất có thể điều này cũng đúng với tính hợp lý.
Đối với các bề mặt trên $\bar{\mathbf F}_p$, một số bề mặt K3 là đơn nguyên, nhưng hầu hết thì không, vì vậy một lần nữa nó không phải là bất biến biến dạng. Shioda phỏng đoán rằng nếu$X$ là một bề mặt trên một trường đóng về mặt đại số $k$ đặc điểm $p > 0$ với $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, sau đó $X$ là hợp nhất nếu và chỉ khi $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ là siêu âm, tức là tất cả các dốc của Frobenius đều $1$. (Đây rõ ràng là điều kiện cần, vì$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ bị thương và bảo vệ các hành động của Frobenius nếu $Y \twoheadrightarrow X$là một bản đồ trội của các giống xạ ảnh trơn; xem ví dụ: Dự luật 1.2.4 trong bài báo của Kleiman Các chu trình đại số và liên hợp Weil trong Dix Exposés .)
Nhưng điều này không nói bất cứ điều gì về những gì sẽ xảy ra nếu $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$, mặc dù nó phải hữu hạn và thứ tự của nó không thể chia hết cho $p$(xem ví dụ ghi chú này của Chambert-Loir ). Vì vậy, trước tiên bạn phải tính toán độ phủ phổ quát và sau đó tính toán độ dốc - tôi không chắc liệu có cách nào trực tiếp hơn để thực hiện điều này hay không. Giả sử phỏng đoán của Shioda, điều này đưa ra một tiêu chí.