Tính toán mở rộng chuỗi trong ma trận: ma trận mũ
tôi có một $(3 \times 3)$ ma trận $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ mà tôi muốn tính toán ma trận theo cấp số nhân $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ Nếu tôi để $z : = e^{i \theta}$, Tôi có $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ và $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ Cài đặt $|z| = 1$ và tính toán ma trận theo cấp số nhân trên lũy thừa thứ năm $Y^5$, Tôi đã nhận $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ Tôi nghĩ rằng tôi phải có thể viết lại điều này với sự giúp đỡ của $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ và $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Ví dụ, nếu tôi nhìn vào $a_{22}$ thuật ngữ trên, tôi thấy rằng nó gần như $\cos(t)$, ngoại trừ các yếu tố số không hoạt động. Ngoài ra,$a_{11}$ hạn là gần như $\cos(t)$, ngoại trừ có một thuật ngữ xuất hiện $\overline{z} (z+ z)$ từ quyền lực thứ tư trở đi, và điều tương tự cũng xảy ra đối với $a_{33}$ hạn với $z$ và $\overline{z}$đã chuyển đổi. Các$a_{32}$ thuật ngữ dường như là $z \sin(t)$, nhưng một lần nữa các hệ số số không hoạt động.
Câu hỏi: Có ai nhận ra mẫu trong các mục này (tức là chuỗi) và có thể tính toán ma trận theo cấp số nhân không$e^{tY}$ ở dạng đóng?
Ngoài ra, ma trận sẽ là cấp số nhân $\exp(tZ)$ của 'tổng quát hóa' $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ với $z = e^{i \theta}$ lần nữa?
Trả lời
Cài đặt $z = e^{i \theta}$là một ý tưởng tốt. Nó trở nên rõ ràng hơn một chút nếu$(- e^{-i \theta})$ được thay thế bởi $-1/z$ thay vì $-\overline z$ (và nó làm cho kết quả chính xác ngay cả đối với $\theta$).
Vì vậy chúng tôi có $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ và quyền lực đầu tiên là $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ Người ta có thể thấy rằng $\boxed{Y^3 = -2Y}$, cho phép tính toán tất cả các quyền hạn $Y^n$ về mặt $Y$ hoặc là $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ cho $k \ge 1$. vì thế$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Trường hợp chung được mô tả trong Tính toán lũy thừa ma trận Phương pháp Cayley-Hamilton : Nếu$A$ là một $n$ma trận vuông -dimensional và $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ các số không của phương trình đặc trưng $\det(\lambda I - A) = 0$, sau đó $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ Ở đâu $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
Trong trường hợp của chúng ta $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ có số không $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. Hệ phương trình tuyến tính là$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ Giải pháp là $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ xác nhận kết quả cho $\exp(tY)$ mà chúng tôi thu được ở trên.