Tính tổng Riemann

Question

Sau khi viết tích phân dưới dạng giới hạn của tổng Riemann, chúng ta thực sự tính tích phân như thế nào? Có vẻ như nói chung, chúng tôi đang ở trong một số hình thức không được đơn giản hóa. Ví dụ, lấy

$$\int_0^3e^xdx=e^x|_0^3=e^3-1.$$

Nhưng đây cũng là $$\int_0^3e^xdx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{3e^{3i/n}}{n}.$$

Sau khi đến được biểu thức cuối cùng đó, chúng ta có thể làm gì với nó không, hay đây chỉ là một cách nào đó để xác định nó? Ý tôi là, chúng ta có thể làm$3\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{e^{3i}}{ne^n},$nhưng có vẻ như điều đó không thực sự hữu ích. Làm cách nào để chúng ta chuyển từ biểu thức cuối cùng đến$e^x+C$, hay đó thậm chí không phải là mục đích?

Sẽ có ý nghĩa hơn nếu tích phân và FTC tính toán các tổng Riemann thay vì theo cách khác, nhưng đôi khi cách nó được trình bày là chúng ta viết tích phân dưới dạng tổng Riemann chứ không phải ngược lại.

Answer 1

Lấy một phân vùng thống nhất của $[0,3]$ và xem xét tổng trên

$$\frac{3}{n} \sum_{k=1}^n e^{3k/n} = \frac{3}{n}\frac{e^{3/n} - e^{3(n+1)/n}}{1 - e^{3/n}} = e^{3/n} \frac{3}{n}\frac{1 - e^{3}}{1 - e^{3/n}}\\ = e^{3/n}\frac{3}{n(e^{3/n}- 1)}(e^3 - 1)$$

Từ $e^{3/n} = 1 + \frac{3}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$, chúng ta có

$$\lim_{n \to \infty}e^{3/n}= 1, \quad \lim_{n \to \infty}n(e^{3/n}-1)= 3,$$

và nó theo sau đó

$$\int_0^3 e^x \, dx = \lim_{n \to \infty}\frac{3}{n} \sum_{k=1}^n e^{3k/n} = e^3 - 1$$

Answer 2

Không chắc rằng bạn có thể chứng minh một cách trực tiếp và đơn giản rằng$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{3e^{3i/n}}{n}=e^3-1.$$Tuy nhiên, trước khi có thể áp dụng Định lý Cơ bản của Giải tích để tính tích phân, chúng ta phải biết những gì $\int_a^bf(t)\,\mathrm dt$ có nghĩa là . Và việc giới thiệu tổng Riemann xuất hiện một cách tự nhiên trong bối cảnh định nghĩa của tích phân Riemann.