Tóm tắt giải pháp làm rõ

Question

Tôi đã đọc qua một giải pháp cho một vấn đề và nó nêu rõ điều này: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$Tôi thực sự băn khoăn tại sao điều này lại đúng - trung thực có lẽ nhiều hơn trực giác, nhưng tôi không hoàn toàn hiểu. Ai có thể làm rõ? Cảm ơn trước.

Answer 1

Để xem những gì đang xảy ra, nó là đủ để xem xét các chuỗi kép. Giả sử chuỗi là hoàn toàn hội tụ, chúng tôi thu được

\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}

Bình luận:

• Trong (1), chúng tôi đổi tên trong chuỗi kép ngoài cùng bên phải $a_1$ với $a_2$ và $a_2$ với $a_1$.

• Trong (2) chúng tôi sắp xếp lại thứ tự.