Tổng các biến phân phối Bernoulli

Question

Để cho $N, X1, X2,...$ là các biến ngẫu nhiên độc lập trong đó $N\sim Poisson(\lambda)$ và $X_i\sim Bernoulli(p)$ cho $i = 1, 2,...$, với $\lambda>0$ & $0<p<1$. Biến Poisson phức hợp$X$được đưa ra bởi \ begin {method} X = \ sum_ {j = 1} ^ {N} X_j \ end {method}

Nhiệm vụ: Tìm phân phối cho$X$.

Giải pháp đã cố gắng : Lý do của tôi như sau

Mỗi biến $X_j$ có thể giả định các giá trị $x=1$ hoặc là $x=0$ với các xác suất tương ứng $p$ và $1-p$. Bằng cách này, biến$X$ đếm số lần thử "thành công", lên đến $N$ thử nghiệm.

Tôi nghĩ rằng cơ hội để có được $P(X=k)=P\left(\sum_{j=1}^{N}X_j=k\right)$ nên là cơ hội cho $P\left(\sum_{j=1}^{n}X_j=k\right)$ nhân với $P(N=n)$. Đó là; đó là cơ hội để có được$k$ thành công trong $n$ nỗ lực, nhân với cơ hội có những $n$ cố gắng.

Vì vậy, điều này dẫn tôi đến \begin{align} P(X=x) &= P\left(\{N=n\}\cap \left\{\sum_{j=1}^{n}X_j=k\right\}\right)\\ &= P(N=n)\cdot P\left(\sum_{j=1}^{n}X_j = k\right) \text{Because they're independent}\\ \end{align}

Sau đó, tôi sử dụng thực tế rằng tổng của (indepedent, tham số $p$) Thử nghiệm Bernoulli sẽ tuân theo phân phối Nhị thức. Như vậy\begin{align} P(X=x) &= \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \cdot (_{k}^{n})p^k(1-p)^{n-k}\\ &= \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\\ &= \frac{e^{-\lambda}p^k\lambda^n}{k!} \cdot \frac{(1-p)^{n-k}}{(n-k)!} \end{align} Nơi tôi sử dụng thực tế rằng $N\sim Poisson(\lambda)$ để tìm $P(N=n)$.

Như vậy kết luận $$P_X(x) = \begin{cases} \frac{e^{-\lambda}p^k\lambda^n}{k!}\cdot\frac{(1-p)^{n-k}}{(n-k)!} & \text{for }k=1,2,3,...\\ 0 & \text{Otherwise} \end{cases}$$Tuy nhiên, tôi tin rằng tôi đã làm sai điều gì đó. Cụ thể là thực tế rằng$n$ vẫn hiển thị trong biểu thức, mặc dù tôi không thể biết mình đang thiếu cái gì.

Answer 1

Bạn đã đi ngay lập tức! Nhưng bạn phải xem xét tất cả các trường hợp$n\geq k$. Để cho$A_n=\{N=n\}$ cho tất cả $n\geq 0$. Quan sát rằng tất cả$A_n$là rời rạc và sự kết hợp của họ là $\Omega$. Ngoài ra, hãy quan sát rằng$P(\{X=k\}\cap A_n)=0$ khi nào $n<k$. Bây giờ sửa chữa$k\geq 0$ và viết

\begin{align} P(X=k)&=P\bigl(\bigcup_{n=0}^{\infty}\{X=k\}\cap A_n\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}P(\{X=k\}\cap A_n)\\ &=\sum_{n=k}^{\infty}P(X=k\ |\ N=n)\cdot P(N=n) \end{align}

Hiện nay $P(X=k\ |\ N=n)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$ và $P(N=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$. Kết hợp tất cả lại với nhau, cho$k\geq 0$

$$P(X=k)=\sum_{n=k}^{\infty}{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$$