Trường phân số của $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Chúng tôi biết rằng trường phân số $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$được nghiêm ngặt trong lĩnh vực của chuỗi điện Laurent$\mathbb Q_p((X))$, nhờ kết quả này của Gilmer. Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

Có thể mô tả rõ ràng các yếu tố của $F$?

Một số câu hỏi tương tự đã được hỏi ở đây hoặc trên Mathoverflow. Có thể liên quan nhất là cái này liên quan đến việc tính toán rõ ràng trường phân số của$\mathbb Z[[X]]$. Ai đó gợi ý trong các nhận xét của câu hỏi được liên kết rằng vấn đề với$\mathbb Z_p$ (thay vì $\mathbb Z$) nên dễ dàng hơn.

Một số điều kiện cần thiết chung được đưa ra ở đây khi các hệ số của chuỗi lũy thừa nằm trong miền bất kỳ, nhưng tôi muốn tìm một số điều kiện đủ trong trường hợp cụ thể của$\mathbb Z_p$.

Rất cám ơn trước

Answer 1

Giả sử bạn có một chuỗi điện $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Nếu nó khác không, bạn có thể viết nó là $X^np^m\sum_k b_kX^k$ với $b_0 \notin (p)$.

Đặc biệt, như $\mathbb Z_p$ là địa phương, $b_0$ là không thể đảo ngược, và như vậy $\sum_kb_k X^k$ cũng không thể đảo ngược: bạn chỉ phải đảo ngược $X^np^k$

Đặc biệt, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Vì vậy, một phần tử $f\in \mathbb Q_p((X))$ trong $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ nếu và chỉ nếu $p^n$ trong các mẫu số được giới hạn

(mô tả ở trên hiển thị bit "chỉ nếu" và cho "nếu": nếu chúng bị giới hạn, nhân với $p^k$ cho $k$ đủ lớn để bạn hạ cánh $\mathbb Z_p((X))$)

Như YCor đã chỉ ra trong phần nhận xét của câu hỏi MO về $\mathbb Z[[X]]$, câu hỏi có lẽ dễ dàng hơn trong các vòng cục bộ nói chung, mặc dù ở đây trên thực tế tôi đã sử dụng rằng lý tưởng tối đa là chính (vì vậy điều này hoạt động trên các vòng định giá rời rạc)