Vi phân của bản đồ hàm mũ

Question

Để cho $G$là một nhóm Lie. Bản đồ hàm mũ

$$\exp: T_e G \to G$$

được định nghĩa bởi $\exp (X)=c_X(1)$, Ở đâu $c_X$ là đường cong tích phân cực đại với điểm ban đầu $e$ của trường vectơ bất biến bên trái $v_X$ trên $G$ xác định bởi $v_X(e)=X$, hoặc cụ thể hơn $v_X(e)=d_e(l_x)X,$ Ở đâu $l_x$ là bản dịch bên trái của $x$ trên nhóm Lie $G$.

Tôi tự hỏi làm thế nào để chứng minh bằng cách chỉ sử dụng các định nghĩa ở trên rằng khi chúng ta lấy vi phân của $\exp:T_e G \to G$, chúng tôi nhận được

$$d_0(\exp)X=\frac{d}{dt}\exp(tX)|_{t=0}. $$

Ghi chú $d_0(\exp)$ là một bản đồ $T_0(T_e G)\to T_e G$.

Answer 1

Đây là định nghĩa của vi phân. Nhớ lại rằng khi$f: M\to N$ là một ánh xạ có thể phân biệt và $x\in M$, sau đó $$d_x f : T_xM \to T_{f(x)}N$$ được định nghĩa như sau: let $X\in T_xM$. Sau đó, có một đường cong mượt mà$\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M$ vậy nên $\gamma(0) = x$ và $\gamma'(0) = X$(thực sự, đây ít nhiều là định nghĩa của một vectơ tiếp tuyến). Sau đó, theo định nghĩa$$ d_x f (X) = \frac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t) \bigg|_{t=0}.$$

Trong ví dụ của bạn $\exp : T_eG\to G$, sau đó chúng tôi có $d_0 \exp : T_0(T_e G) \to T_eG$, được cho bởi $$ d_0 \exp (X) = \frac{d}{dt} \exp (\gamma (t))\bigg|_{t=0}$$ khi một người chọn $\gamma (t) = tX$, chúng tôi phục hồi phương trình của bạn.