Với một cặp eigenvalue và eigenvector, làm cách nào để tìm cặp còn lại?

Question

Tôi có một vấn đề về bài tập:

Nếu $A$ là một $2\times 2$ ma trận $$A = \begin{bmatrix}a & 2a \\ 2b & -b\end{bmatrix}$$ với một giá trị riêng $\lambda = 2$ và eigenvector tương ứng $\begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}$, (các) vectơ nào sau đây, nếu có, có thể là ký hiệu riêng cho $A$?

1. $\begin{bmatrix}-8 \\ 1\end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}8 \\ -1\end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix}1 \\ -8\end{bmatrix}$

4. $\begin{bmatrix}1\\ 8\end{bmatrix}$

Đây là những gì tôi đã thử cho đến nay:

Tôi biết rằng tôi cần phải giải quyết $\det (A - \lambda I) = 0$ để tìm các giá trị riêng $\lambda$. Khi tôi làm điều đó cho$A$, Tôi có $$(a-\lambda) (-b -\lambda) - 4ab = 0$$

$$(a-\lambda) (b +\lambda) + 4ab = 0$$ $$-\lambda^2 +a\lambda - b\lambda+5ab = 0$$

Và tôi biết điều đó $\lambda = 2$ là một trong những giải pháp, vì vậy $(\lambda - 2)$ phải là một yếu tố, và cũng $$2a -2b + 5ab = 4$$

Tôi không biết phải làm gì tiếp theo.

Cảm ơn vì sự giúp đỡ.

Answer 1

Chúng ta có:

$$\begin{bmatrix} a-2 & 2a \\ 2b & -b-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

mang lại:

$$2(a-2)+6a = 0$$ $$4b-3(b+2) = 0$$