xây dựng tương đồng

Question

Để cho $X,Y$ là không gian tôpô và $f,g:X \rightarrow Y$là các bản đồ liên tục. Giả sử$f,g$ là đồng tính của một đồng tính $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Để cho$\gamma$ là một con đường trong $Y$ với các điểm cuối $y_0=f(x_0)$ và $z_0=g(x_0)$ Được định nghĩa bởi $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Để cho$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ là một vòng lặp trong $X$ với $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Tôi muốn cho thấy rằng các con đường$f \circ \alpha$ và $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ là phép đồng hình đường đi bằng cách xây dựng phép đồng hình $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
tôi biết điều đó$\gamma$ gây ra sự thay đổi đẳng cấu điểm cơ sở $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ được cho bởi $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ cho tất cả $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Tôi không biết làm thế nào để xây dựng sự tương đồng này$G$ cụ thể, nhưng tôi biết nó phải đáp ứng những điều sau: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

LÝ THUYẾT: Hãy để $h:X \to Y$là một hàm liên tục. Nếu$α,β$ là những con đường đồng tính trong $X$ sau đó $hoα$ và $hoβ$ đồng tính ở $Y$.
Chúng tôi cho rằng tồn tại một bản đồ liên tục$H:X×I \to Y$ như vậy mà $H(x,0)=f(x)$ và $H(x,1)=g(x)$.
Do đó, để hiển thị các đường dẫn$foα$ và $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ là đồng tính mà chúng ta phải tìm kiếm các con đường trong $X×I$ sao cho hình ảnh của họ dưới chữ H là $foα$ và $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Để cho$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Vì thế$p$ và $c \ast q \ast \hat c$là những con đường bắt buộc của chúng tôi.
Bây giờ hãy để$G:I×I \to X×I$ được định nghĩa là $G(s,t)=(α(s),t)$. Bây giờ nếu chúng ta có thể tìm thấy các con đường trong$I×I$ sao cho hình ảnh của họ dưới G là $p$ và $c \ast q \ast \hat c$ chúng tôi đã hoàn thành bởi vì điều đó có nghĩa là $p$ và $c \ast q \ast \hat c$là đồng âm.
Để cho$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ và $d(s)=(s,0)$.
Có thể thấy rằng$d$ và $a \ast b \ast \hat c$là các đường dẫn bắt buộc. Bây giờ vì cả hai con đường này$d$ và $a \ast b \ast \hat c$ có cùng điểm đầu và điểm cuối và kể từ $I×I$được kết nối đơn giản chúng là đồng âm. Ngụ ý$p$ và $c \ast q \ast \hat c$ là ngụ ý đồng âm $foα$ và $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ là đồng âm.