"Át chót"
Bạn có một bộ bài 52 lá được xáo trộn thông suốt. Mỗi lần bạn chọn một thẻ từ bộ bài. Lá bài đã rút được đặt trở lại bộ bài và tất cả 52 lá lại được xáo trộn một cách thông suốt. Bạn tiếp tục quy trình này cho đến khi bạn nhìn thấy tất cả bốn con át chủ bài khác nhau. Giá trị mong đợi và độ lệch chuẩn của số lần bạn phải rút một lá bài cho đến khi bạn nhìn thấy tất cả bốn quân át chủ bài khác nhau?
Rõ ràng vấn đề là tôi có thể rút đi rút lại cùng một con át chủ bài, vì vậy tôi nên đếm số quân bài mà tôi rút được giữa $k-1$th thành công và $k$lần thành công (ví dụ, ví dụ, các quân bài rút ra giữa quân thứ ba và quân thứ tư, mỗi quân khác nhau). Nhưng thực tế là quân át chủ bài phải khác với thực tế là một khi rút được quân át, quân át này được đưa trở lại bộ bài ngụ ý rằng một khi tôi rút được quân át thứ ba thì "trò chơi" bắt đầu lại từ đầu, vì vậy tôi phải tính toán số lần thử. (quân bài rút ra) cần thiết để có được thành công đầu tiên (tức là con át chủ bài thứ tư và cuối cùng chưa được nhìn thấy).
Vì thế nếu $X_i=[$# thẻ rút ra trước $i$thứ ace$]$, chúng tôi có cái đó $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.
Làm thế nào tôi có thể sử dụng điều này để giải quyết vấn đề? Cảm ơn trước sự giúp đỡ nào.
Trả lời
Để cho $X$ biểu thị biến ngẫu nhiên biểu thị số lần thử nghiệm $4$át chủ bài. Chúng ta có thể chia$X$ thành $4$ các biến ngẫu nhiên riêng biệt, mà chúng tôi sẽ gọi là $X_1$ (số lần thử để kéo quân át chủ bài đầu tiên), $X_2$ (số lần thử kéo quân át thứ hai sau khi kéo quân thứ nhất), $X_3$ (số lần thử kéo quân át thứ ba sau khi kéo quân thứ hai) và $X_4$(số lần thử kéo con át thứ tư sau khi kéo con thứ ba). Phân phối xác suất của các biến là phân phối hình học. Đối với một phân bố hình học, chúng tôi có$E[Y]=\frac1p$ và $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.
Cơ hội để kéo con át chủ bài đầu tiên của chúng ta trong một thử nghiệm là $\frac4{52}=\frac1{13}$ vì thế $E[X_1]=13$ và $\text{Var}(X_1)=156$. Cơ hội kéo con át chủ bài thứ ba của chúng ta trong một cuộc thử nghiệm là$\frac3{52}$ vì thế $E[X_2]=\frac{52}3$ và $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. Cơ hội kéo con át chủ bài thứ ba của chúng ta trong một cuộc thử nghiệm là$\frac2{52}=\frac1{26}$ vì thế $E[X_3]=26$ và $\text{Var}(X_3)=650$. Cơ hội kéo con át chủ bài thứ ba của chúng ta trong một cuộc thử nghiệm là$\frac1{52}$ vì thế $E[X_3]=52$ và $\text{Var}(X_4)=2652$.
Bởi vì $X_1$, $X_2$, $X_3$ và $X_4$ độc lập, chúng tôi có thể thêm trực tiếp các giá trị và phương sai mong đợi để nhận được giá trị và phương sai mong đợi của $X$. Chúng ta có
$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$
và
$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$
Để tìm độ lệch chuẩn, chúng ta lấy căn bậc hai của phương sai, đó là:
$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$