Bài toán Sylvester.

Question

Một tập hợp hữu hạn $S$của các điểm trong mặt phẳng có tính chất là đường thẳng đi qua hai trong số các điểm này đi qua điểm thứ ba. Chứng minh rằng tất cả các điểm trong$S$ thẳng hàng.

Tôi đã thấy một bằng chứng về vấn đề này bằng cách sử dụng nguyên tắc cực trị.

Giả sử rằng các điểm không thẳng hàng. Giữa các cặp$(p,L)$ bao gồm một dòng $L$ và một điểm không nằm trên đường đó, chúng tôi chọn một điểm để giảm thiểu khoảng cách $d$ từ $p$ đến $L$. Để cho$f$ là chân của đường vuông góc từ $p$ đến $L$. Có (theo giả định) ít nhất ba điểm$a,b,c$ trên $L$. Điều này, hai trong số này, nói$a$ và $b$ ở cùng một phía của $f$. Để cho$b $ gần hơn với $f$ hơn $a$. Sau đó, khoảng cách từ$b$ xếp hàng $ap$ ít hơn $d$. Sự mâu thuẫn.

Câu hỏi của tôi là trong phần cuối cùng. Tôi không hiểu bằng cách nào "Sau đó khoảng cách từ$b$ xếp hàng $ap$ ít hơn $d$. "tạo ra một mâu thuẫn. Ai đó có thể giải thích?

Answer 1

Trong phần đầu của bằng chứng, chúng tôi đã chọn $(p,L)$ sao cho khoảng cách $d$ giữa $p$ và $L$ là tối thiểu trong số tất cả các dòng và các điểm không nằm trên dòng đó.

Mâu thuẫn nảy sinh khi chúng tôi sản xuất cặp $(b, ap)$ với khoảng cách nhỏ hơn $d$, mâu thuẫn với điều kiện tối thiểu về $(p,L)$.

"Geometry" có thể là một thẻ.

CHỈNH SỬA: tại sao $b$ gần hơn với $ap$ hơn $p$ là để $L$, xét tam giác vuông $\triangle afp$.

$b$ ở bên $af$. Khoảng cách của nó từ dòng$ap$ không thể vượt quá chiều cao của $\triangle afp$ với cơ sở $ap$.

Từ $ap$ là cạnh huyền, $ap > af$.

Xét diện tích của $\triangle afp$, chúng tôi thấy rằng chiều cao của $\triangle afp$ với cơ sở $ap$ nhỏ hơn chiều cao của $\triangle afp$ với cơ sở $af$, đó là $fp = d$.

Điều này cho kết quả mong muốn: khoảng cách $b$ từ $ap$ ít hơn $d$.

Answer 2

Để có lời giải thích trực quan cho lý do tại sao khoảng cách từ $B$ đến $AP$nhỏ hơn, đây là một minh họa. Tôi đã viết hoa tất cả các nhãn điểm và thêm vào$G$ và $H$, là chân của các đường vuông góc từ $B$ và $F$ xếp hàng $AP$, tương ứng. Cần phải rõ rằng$PF > FH > BG$. Chứng minh chính thức sử dụng các tam giác đồng dạng và tỷ lệ.