Bất đẳng thức mã hóa
Để cho $N$ và $R$ là không gian con của không gian vectơ $X$(không cần thiết thứ nguyên hữu hạn)$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$
Giả định $N\subset R \subset X$, chứng minh bất đẳng thức codimension:
$$\codim R \le \codim N$$
Điều này rất đơn giản nếu chúng ta sử dụng công thức thứ nguyên: $\dim X = \dim N + \codim N = \dim R + \codim R\:$ (trong đó thứ nguyên được định nghĩa là $\codim N = \dim(X/N)$ )
Làm thế nào để chứng minh nó mà không có công thức này?
Trả lời
Tôi sẽ thay đổi ký hiệu thành một cái gì đó theo tinh thần của đại số tuyến tính. Để cho$K$ là một trường tùy ý và $V$ trái $K$-vector space với subspaces $U \leqslant_K U' \leqslant_K V$.
Bản đồ nhận dạng $\mathbf{1}_V$ bản đồ $U$ đến $U'$ vì vậy nó tạo ra một biến hình thương số $f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V/U')$ thỏa mãn mối quan hệ $f \circ \sigma=\sigma'$, Ở đâu $\sigma \colon V \to V/U$ và $\sigma' \colon V \to V/U'$biểu thị các phép chiếu chính tắc tương ứng. Vì nó là thương số của một bản đồ xạ ảnh,$f$ bản thân nó là chủ quan và chúng ta cũng có thể dễ dàng lấy được mô tả $\mathrm{Ker}f=\sigma[U']=U'/U \leqslant_K V/U$.
Do đó, nhờ vào định lý biến hình (iso) cơ bản, người ta suy ra rằng: $$\left(V/U\right)/\left(U'/U\right) \approx V/U' \quad (\operatorname{K-\mathbf{Mod}}),$$ đặc biệt đòi hỏi $\mathrm{codim}_{V/U}(U'/U)=\mathrm{codim}_V(U')$.
Từ quan hệ thứ nguyên-thứ nguyên chung (đối với bất kỳ không gian con nào, tổng giữa thứ nguyên và thứ nguyên của nó trong không gian xung quanh là thứ nguyên của môi trường xung quanh), chúng tôi suy ra kết quả sau: $$\mathrm{dim}_K (V/U)=\mathrm{dim}_{K}(V/U')+\mathrm{dim}_K(U'/U),$$ mà - bằng cách tính đến định nghĩa của các thứ nguyên - có thể được viết rõ ràng hơn là: $$\mathrm{codim}_VU=\mathrm{codim}_{V}U'+\mathrm{codim}_{U'}U,$$mối quan hệ nổi tiếng về độ nhạy của các thứ nguyên .
Tôi sẽ đề cập ở đây (không có bằng chứng) định lý cơ bản cho sự tồn tại của các biến đổi thương :
Để cho $K$ là một trường tùy ý với $V$, $V'$ hai trái $K$-các khoảng trắng. Để cho$f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V, V')$ là một $K$-bản đồ tuyến tính (biến hình của $K$-các khoảng trắng) và $U \leqslant_K \mathrm{Ker}f$ là một không gian con của $U$ bao gồm trong hạt nhân của $f$. Để cho$\sigma \colon V \to V/U$biểu thị sự bác bỏ chính tắc. Tồn tại một phép biến hình duy nhất$g \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V')$ như vậy mà $f=\sigma \circ g$, biến hình có các thuộc tính: $$\begin{align*} \mathrm{Ker}g&=(\mathrm{Ker}f)/U\\ \mathrm{Im}g&=\mathrm{Im}f. \end{align*}$$
Xem xét bản đồ $f: X/N\to X/R $ được xác định qua $x+N\mapsto x+R $. Nó là một bản đồ mặt ảnh hưởng được xác định rõ ràng. Vì vậy, theo định lý hạng-nullity$$\dim(X/R)=\dim(X/N)-\dim(\ker f)\leq \dim(X/N).$$
Nếu $N\subseteq R$ sau đó $X/N$ là một không gian vectơ 'chứa' $R/N$, trong đó $(X/N)/(R/N)\cong X/R$, bởi một trong những định lý đẳng cấu ($x+N\mapsto x+R$ như trong câu trả lời của Người lính rùng mình).
Nói chung, $\dim(V/W)\le\dim V$, do đó nó theo sau đó $\mathrm{codim}(R)=\dim(X/R)\le\dim(X/N)=\mathrm{codim}(N)$.
Bằng chứng về thực tế này: Nếu $v_i$ là cơ sở cho $V$ sau đó $v_i+W$ nhịp $V/W$ (hiển nhiên) và do đó kích thước của $V/W$ chỉ có thể ít hơn $V$.
Dựa trên bản đồ tuyến tính $f: X/N\to X/R$ , đó là:
- xác định rõ
- surjective
- tuyến tính
Hiện đã đưa ra cơ sở đặt cho $(X/R)$ I E $\{b_i|i\in I\}$, chúng ta có thể thấy nó là một trong những điểm chuẩn tương ứng với nó, tức là $\mathcal{X} = \{x_i|i\in I\}$ như vậy mà $f(x_i) = b_i$
Bây giờ bộ này $\mathcal{X} $ là tuyến tính độc lập, vì sume hữu hạn $\sum c_ix_i = 0$ sau đó hành động $f$ ở cả hai bên chúng tôi có $\sum c_ib_i = 0$ có nghĩa là tất cả $c_i = 0$.
Vì đối với không gian vectơ, chúng ta luôn có thể mở rộng tập độc lập tuyến tính $L$ với tập cơ sở của không gian vectơ này, chúng tôi có bản đồ bao gồm giữa $\mathcal{X}$ và cơ sở của $X/N$ (biểu thị nó $\mathcal{B}$).như vậy mà $i:\mathcal{X} \to \mathcal{B}$.vì thế:
$$|I| = |\mathcal{X}| \le |\mathcal{B}|$$ hoàn thành bằng chứng
Có lẽ dễ dàng hơn (mặc dù thực sự giống với các đối số dựa trên thương số khác nhau, ở trên), sử dụng Mở rộng của tập độc lập tuyến tính thành một cơ sở trong không gian vectơ chiều vô hạn .
Cơ sở của $N$, $\mathcal{N}$, có thể được mở rộng đến cơ sở $R$, $\mathcal{R}$, có thể được mở rộng đến cơ sở $X$, $\mathcal{X}$. Sau đó$\mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{R} \subseteq \mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{N}$, như đã được hiển thị.