Các phép tính với số phức

Question

Vì vậy, hôm nay tôi gặp một câu hỏi này trong cuốn sách toán của mình, và tôi không biết làm thế nào để có câu trả lời đúng mặc dù nó có vẻ rất dễ, tôi chỉ muốn biết cách làm để có thể ngủ một giấc.

Đây là câu hỏi:

Khi số phức $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ cho thấy $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

Tôi chưa làm được gì nhiều cho câu hỏi này ngoài việc sử dụng số phức thực tế: $$\frac{z^2-1}{z}$$

Bất cứ ai có thể chỉ cho tôi làm thế nào để chứng minh câu hỏi này, bất kỳ sự giúp đỡ nào được đánh giá cao.

Answer 1

Danh tính không có thật, quả nhiên ta có

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

danh tính chỉ đúng cho $\left(r-\frac1r\right)=0$ và $\left(r+\frac1r\right)=2r$ đó là $r=1$ hoặc là $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

Có gì bằng $\:2ir\sin\theta\:$ Là $\:z -\color{red}{\bar z}$.

Hiện nay $\bar z=\dfrac 1 z\:$ nếu và chỉ nếu $z$ có mô đun $1$.