Công thức cho sản phẩm chéo
Công thức về tích chéo của hai vectơ trong $R^3$, $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ Là $$\det\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}$$
Tôi biết rằng nói chung đối với ba vectơ 3D, định thức thể hiện thể tích của hình bình hành. Nhưng làm thế nào là hợp lệ để đặt (cơ sở) vectơ$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$thành một vectơ, và ý nghĩa đồ họa / trực quan của nó là gì? Động lực ban đầu của công thức này là gì?
Lưu ý: Tôi đã đọc qua các câu hỏi tương tự và câu trả lời tương ứng nhưng không hài lòng. Vì vậy, xin vui lòng không phản đối câu hỏi này và nếu có thể cho tôi một số thông tin chi tiết.
Trả lời
Tôi đã liên kết video trong phần nhận xét ở trên, nhưng tôi sẽ tóm tắt các ý tưởng từ video trong câu trả lời này. Chúng tôi có 2 câu hỏi cần giải quyết:
- Tại sao nó có ý nghĩa khi đặt $\mathbf{i,j,k}$ thành một định thức?
- Làm thế nào điều này dẫn đến một vectơ có các đặc tính hình học của tích chéo?
Để bắt đầu, tôi khẳng định rằng dạng "tự nhiên" của tích chéo không phải là dạng vectơ, mà là dạng hàm. Cho hai vectơ$\mathbf a, \mathbf b$, sản phẩm chéo thực sự là chức năng $f_{\mathbf a,\mathbf b}: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ Được định nghĩa bởi $$ f_{\mathbf a,\mathbf b}(\mathbf x) = \det\pmatrix{x_1 & x_2 & x_3\\a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3}. $$ Nói cách khác, $f_{\mathbf a, \mathbf b}$ là một hàm nhận làm đầu vào của nó là một vectơ $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3)$và khi đầu ra của nó tạo ra thể tích của hình bình hành với các cạnh $\mathbf{a,b,x}$. Có thể dễ dàng nghĩ hàm này như một vectơ vì nó là một hàm tuyến tính và mọi hàm tuyến tính$f:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ có thể được viết dưới dạng $$ f(\mathbf x) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3. $$ Véc tơ $\mathbf p = (p_1,p_2,p_3)$ có thể được coi là một cách "mã hóa" hàm $f$, vì chúng tôi có $f(\mathbf x) = \mathbf p \cdot \mathbf x$, Ở đâu $\cdot$biểu thị một sản phẩm chấm. Điều này dẫn đến câu trả lời của chúng tôi cho câu hỏi 1: khi chúng tôi tính định thức với$\mathbf {i,j,k}$ có các mục nhập hàng đầu, chúng tôi kết thúc bằng một vectơ $p_1 \mathbf i + p_2 \mathbf j + p_3 \mathbf k$. Các vectơ$\mathbf{i,j,k}$ đóng vai trò là người giữ vị trí cho tọa độ đầu vào của chúng tôi $x_1,x_2,x_3$: nếu chúng ta tính toán $\mathbf p \cdot \mathbf x$, chúng tôi kết thúc với $$ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3, $$ đó chính xác là những gì chúng tôi sẽ nhận được nếu chúng tôi tính toán yếu tố quyết định với các mục nhập của $\mathbf x$ là hàng trên cùng của chúng tôi, tức là nếu chúng tôi đã tính $f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x)$ từ định nghĩa tôi đưa ra ở trên.
Đối với câu hỏi 2, chúng ta có thể nhận xét như sau:
- Nếu $\mathbf x$ là một trong hai $\mathbf a$ hoặc là $\mathbf b$, sau đó $\mathbf p \cdot \mathbf x = f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = 0$. Vì thế,$\mathbf p$ là trực giao với cả hai $\mathbf a$ và $\mathbf b$.
- Nếu chúng ta cắm vào $\mathbf x = \mathbf p/\|\mathbf p\|$, thì chúng ta sẽ thấy rằng $\mathbf p \cdot \mathbf x = \frac{\mathbf p \cdot \mathbf p}{\|\mathbf p\|} = \|\mathbf p\|$. Từ tính tích cực của yếu tố quyết định, chúng ta thấy rằng hướng của$\mathbf p$ có phải như vậy không $\mathbf p, \mathbf a, \mathbf b$tạo thành một hệ thống thuận tay phải. Từ thực tế rằng$f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = \|\mathbf p\|$, chúng ta có thể suy ra rằng $\|\mathbf p\|$ bằng diện tích của hình bình hành với các cạnh $\mathbf a, \mathbf b$.
Với điều này, chúng tôi suy ra các thuộc tính của tích chéo: $\mathbf p = \mathbf a \times \mathbf b$ luôn luôn trực giao với $\mathbf a , \mathbf b$. Khi nào$\mathbf p \neq \mathbf 0$, $\mathbf p$ chỉ theo hướng sao cho $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf p$tạo thành cơ sở thuận tay phải. Cuối cùng,$\|\mathbf p\|$ là diện tích của hình bình hành với các cạnh $\mathbf a, \mathbf b$.
Như một số nhận xét đã chỉ ra, những gì bạn đã viết là một thiết bị ghi nhớ, không phải là một công thức thực tế. Đây là một công thức thực tế, theo cùng một tinh thần.$$\eqalign{ \vec a\times \vec c &= &{\bf i}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf i&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ \;&{\bf j}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf j&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ &{\bf k}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf k&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ }$$