Đại số tuyến tính - Thứ nguyên của bài toán không gian con

Aug 16 2020

Tôi tìm thấy câu hỏi này từ một slide bài giảng về phần đại số tuyến tính GRE của bài kiểm tra môn toán và không thể tìm ra.

Giả sử $V$là một không gian vectơ thực có số chiều hữu hạn n. Gọi tập hợp các ma trận từ$V$ vào chính nó $M(V)$.
Để cho$T∈ M(V)$. Hãy xem xét hai không gian con$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$$W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Điều nào sau đây phải ĐÚNG?

I. Nếu $V$ có một cơ sở chỉ chứa các ký tự riêng của $T$ sau đó $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Tôi nghĩ rằng II phải là sai, nhưng tôi không thể tìm ra sự thật của I hay III. Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao!

Trả lời

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 không nhất thiết phải đúng. Để lấy$n = 2$, và để $T(e_1) = e_1$$T(e_2) = 2e_2$. Để cho$X$ tốt $X(e_1) = e_1$$X(e_2) = e_1 + e_2$. Sau đó$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, nhưng $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Sau đó$TX \neq XT$.

2 là đúng. Xem xét bản đồ tuyến tính$f: M(V) \to M(V)$ gửi $X$ đến $TX - XT$. Sau đó, chúng tôi có thể viết$W = \im(f)$$U = \ker(f)$. Sau đó, theo định lý hạng-nullity,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 không nhất thiết phải đúng. Để lấy$n > 1$$T =$nhận dạng. Sau đó$U = M(V)$ vì thế $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.