Đánh giá $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi$

Question

Tôi nên đánh giá:

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi $$

bằng cách sử dụng định lý nhị thức và nhận dạng:

$${}_2F_1 \left(\begin{array}{c}a , b \\ c \end{array};x\right) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a} \, \mathrm{d}t$$

Vì vậy, đầu tiên sử dụng định lý nhị thức, tôi nhận được:

\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \sum_{k=0}^{\beta} \binom{\beta}{k} e^{-2i\phi k} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \binom{\beta}{l} e^{-2i\phi l} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} \binom{\beta}{l} e^{2i\phi(k-l)} \, \mathrm{d}\phi \end{align*}

Nhưng từ đây tôi không biết làm thế nào để tiếp tục hay đúng hơn là làm thế nào để sử dụng danh tính. Bất kỳ gợi ý?

Answer 1

Nếu $\beta$ là một số nguyên không âm, với $z=e^{2i\phi}$ điều này trở thành$$\oint_{|z|=1}(1+z)^{\alpha+\beta}\frac{dz}{2iz^{\beta+1}}=\pi[z^\beta](1+z)^{\alpha+\beta}=\pi\binom{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}.$$Cập nhật: @Iridescent đã chỉ ra cách chúng tôi có thể tổng quát hóa thành phức tạp $\beta$. Tích phân là$2^{\alpha+\beta-1}\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+\beta}\phi\cos[(\alpha-\beta)\phi]d\phi$, vì phần ảo của tích hợp tích hợp với $0$ trên $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}]$. Một câu hỏi cũ chứng minh điều này thực sự là$\tfrac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}$.