Định lý phân rã phổ

Question

Tôi đang xem lại định lý phân rã quang phổ. Nếu$Y$ là một ma trận đối xứng, thì $Y$ có thể được phân hủy như $Y=Q\Lambda Q'$, nơi các cột của $Q$ là những người di cư của $Y$ và $\Lambda$ là một ma trận đường chéo với đường chéo bao gồm các giá trị riêng của $Y$.

Từ một số phần của định lý này, có thể kết luận rằng $Q$là một ma trận trực giao? Tôi biết rằng những người đặc biệt của$Y$ là trực giao, vì vậy có thể kết luận rằng ma trận $Q$ là trực giao?

Answer 1

Bạn phải lấy Eigenvectors với định mức bằng một, bạn sẽ thấy rằng $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

Theo cách diễn đạt của bạn, $Y=Q\Lambda Q'$ và hàng của $Q$ là những người di cư của $Y$.

Trong này, $Y=Q'\Lambda Q$ và các cột của $Q$ là những người di cư của $Y$.

Chúng ta biết trong ma trận đối xứng, các ký tự riêng tương ứng với các giá trị riêng biệt luôn luôn trực giao. Nếu$\bf x$ và $\bf y$ là các eigenvector tương ứng với các eigenvalue khác nhau $\lambda$ và $\alpha$ tương ứng, sau đó $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ từ $\lambda-\alpha\neq 0$.

Bây giờ hãy tìm một cơ sở chính thống cho mỗi không gian điện tử tạo nên tập hợp tất cả các không gian điện tử của $Y$ một bộ chính thống trong $\mathbb{R}^n$ (vì các eigenspaces khác nhau trực giao với nhau).