Động năng và độ cong

Question

Trong cơ học lượng tử, động năng của một hạt được mô tả bằng hàm sóng $\psi$, có liên quan đến độ cong của $\psi$. Điều này có thể dễ dàng nhận thấy, nhưng tôi đã nhầm lẫn cái tôi của tôi với dấu hiệu tiêu cực. Đó là:$\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$, là toán tử động năng. Vì vậy, những gì tôi thu thập được là, độ cong của$\psi$, động năng càng giảm do dấu trừ. Tôi biết điều này không thể đúng.

Answer 1

Ý bạn nói về 'độ cong' thường là tiêu cực. Đi theo làn sóng sin$\psi(x)=A\sin kx$. Lớn hơn$k$nghĩa là độ cong lớn hơn. Bằng cách lấy toán tử động năng 1D, chúng ta nhận được\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(-k^2 A\sin kx \right)\\ &=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\psi(x) \end{align} Vì vậy, trực giác của bạn vẫn đúng: độ cong lớn hơn có nghĩa là động năng lớn hơn.

Chỉnh sửa: để mở rộng thêm một chút về định nghĩa về độ cong. Có nhiều cách để xác định độ cong nhưng một cách tự nhiên là tạo tham số cho một đường cong$\mathbf{r}(s)$ xét về độ dài đường đi của nó và xem xét đạo hàm cấp hai $\mathbf {r}''(s)$. Xem thêmhttps://en.wikipedia.org/wiki/Curvature. Đối với một hàm, độ cong có dấu sẽ trở thành$$\kappa_{\text{signed}}=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$$Chúng tôi không muốn xem xét độ cong tổng quát này hoạt động cho bất kỳ đường cong nào; chúng ta chỉ muốn xem xét đạo hàm cấp hai. Nhưng chúng ta vẫn có thể áp dụng quy ước ký hiệu này. Điều này cho$$\kappa_{\text{signed}}=f''(x)$$Điều này là tích cực khi hàm lõm lên trên (mặt cười hạnh phúc) và tiêu cực khi hàm lõm xuống (mặt cười buồn). Trong phương trình Schrödinger, chúng tôi có, giống như bạn đã đề cập, phương trình sau cho đạo hàm cấp hai$$\psi''(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}(E-V)\psi(x)$$ Bởi vì $\psi$ bật lên trên cả hai mặt của hằng số $E-V$chỉ cho bạn biết liệu hàm có cong theo trục x hay ra xa nó. Hãy thuyết phục bản thân về bức tranh sau đây.

bên trong $E>V$chúng tôi có khu vực cổ điển được phép. Ở đây các giải pháp trông giống như sóng sin. Khu vực$E<V$là vùng cấm cổ điển. Ở đây các giải pháp trông giống như cấp số nhân nhưng vì các trạng thái phải được chuẩn hóa trong thực tế, điều này có nghĩa là chúng phải phân rã về 0.

Answer 2

"Độ cong" là đặc tính cục bộ của hàm sóng , nhưng không có khái niệm trong QM tiêu chuẩn là "giá trị cục bộ của động năng" (xem ví dụ: điều này ).

Động năng là một trong những giá trị riêng của $T=p\cdot p$ toán tử (bỏ qua yếu tố $1/2$ và thiết lập $\hbar=m=1$). Để hiểu dấu trừ, hãy đăng nhập$T=-\nabla^2$, bạn có thể sử dụng tập hợp các biểu tượng của toán tử động lượng $p$ (tức là sóng máy bay, cũng là sóng cơ của $T$). Bằng cách làm theo lý luận của AccidentalTaylorExpansion , bạn phát hiện ra rằng phép trừ là cần thiết để đảm bảo tính tích cực của các giá trị riêng của động năng:

$$ T e^{i k\cdot x} = -\nabla^2 e^{i k\cdot x} = |k|^2 e^{i k\cdot x} \, , $$

vì vậy bạn thấy rằng giá trị đặc trưng chung của $T$, cụ thể là $|k|^2$, tích cực.

Bây giờ hãy xem xét trường hợp tổng quát hơn trong đó $\psi$ không phải là một máy bay tàn lụi, tức là nó không phải là một mặt phẳng của $T$. Trong trường hợp này, điều duy nhất bạn có thể làm là tìm động năng trung bình$\langle T \rangle$ trên một trạng thái như vậy $\psi$ thông qua

$$ \langle T \rangle = \int d^3x \, \psi^*(x) T \psi(x) = -\int d^3x \, \psi^*(x) \nabla^2 \psi(x) $$

Bạn có thể thực hiện tích hợp "theo từng phần", giả sử rằng $\psi\rightarrow0$ ở vô cực không gian và kiểm tra xem $\langle T \rangle $ luôn tích cực:

$$ \langle T \rangle = -\int d^3x \, \psi^*(x) \nabla^2 \psi(x) =\int d^3x \, \nabla\psi^*(x)\cdot \nabla \psi(x) =\int d^3x \, |\nabla \psi(x)|^2 >0 $$

Hơn nữa: chỉ cần nhận thấy rằng động năng là $T = p\cdot p$ và điều đó $p =- i \nabla$, vì vậy rõ ràng (ít nhất là về mặt hình thức) rằng $T$ nên có dấu trừ.