Gỡ rối $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Tìm giá trị nào của $n \in \mathbb{N}$ nó nắm giữ điều đó $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Tôi đã cố gắng sử dụng bất bình đẳng $(1 + x) \leq e^x$, nhưng từ điều này, tôi chỉ có thể thấy rằng sự bất bình đẳng đối với $n > 36$. Nhưng tôi cần lấy$n$ càng nhỏ càng tốt.

Tôi cũng đã thử cảm ứng trên $n$, nhưng tôi bị mắc kẹt ở bước cảm ứng. Đặc biệt, trong việc thể hiện rằng$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Tôi đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ và đề xuất.

Answer 1

Chúng ta có $e^{3x} > 3x \ge x$ cho $x\ge 0$. Áp dụng điều này cho$x = \sqrt{n}$ để có được $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Hình vuông cả hai bên và bạn có$e^{6\sqrt{n}} > n$ cho tất cả $n\ge 0$.

Answer 2

(Dựa trên gợi ý từ user2661923, hãy xem các nhận xét ở trên.)

Tôi đặt $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. Nguồn gốc đầu tiên của$f(x)$ Là $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Chúng tôi chú ý điều đó $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Hơn nữa, không khó để kiểm tra rằng$f'(x) > 0$ cho $x \in [1, +\infty)$. Như vậy$f$ đang tăng lên $[1, +\infty)$ và $f(1) > 0$. vì thế$f(x) > 0$ cho tất cả $x \in [1, +\infty)$. Nó ngụ ý rằng$x < e^{6\sqrt{x}}.$

Và câu hỏi của tôi dễ dàng theo sau.

Answer 3

Sự bất bình đẳng áp dụng cho tất cả các giá trị dương $x$, hiệu quả đến mức một bằng chứng có vẻ quá mức cần thiết :-)

(Thông báo rằng $0<e^{6\sqrt0}$ và $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

---

Hoặc sử dụng Taylor,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$