Hàm số liên tục với đạo hàm dini trên lớn hơn 0 ngụ ý hàm số đang tăng

Question

Để cho $f$ liên tục trên $[a,b]$ với $\bar D f \geq 0$ (đạo hàm Dini trên của $f$) trên $(a,b)$. Cho thấy$f$ đang tăng lên $[a,b]$. Gợi ý: Chứng tỏ điều này đúng với$g$ với $\bar D g \geq \epsilon > 0$ trên $[a,b]$. Áp dụng điều này cho hàm$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Đây là câu hỏi 19 từ chương 6.2 của Royden-Fitzpatrick Analysis phiên bản thứ 4.

Cách tiếp cận của tôi như sau

1. $g$ là liên tục vì nó là sự kết hợp tuyến tính của 2 hàm liên tục.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ nghĩa là $g$ đang tăng lên $(a,b)$.
3. $f = g - \epsilon x$ và $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ ngụ ý $f$ đang tăng (nó không giảm) trên $(a,b)$.

Nó có ý nghĩa không? Cảm ơn vì bất kì sự giúp đỡ. Câu hỏi cũng liên quan đến chức năng Liên tục trên$[a, b]$ với các dẫn xuất trên và dưới được giới hạn trên $(a, b)$ là Lipschitz.

Answer 1

Làm sao bạn biết điều đó $2$nắm giữ? Trên thực tế, đây là ý chính của bằng chứng, trừ khi tôi đang đọc sai câu hỏi của bạn, bạn cần phải làm một chút công việc. (Vẽ một bức tranh sẽ hữu ích!) Trước tiên, hãy giả sử rằng$\bar D f >0$ trên $(a,b)$. Nếu có$a<c<d<b$ như vậy mà $f(c)>f(d)$ sau đó chúng ta có thể chọn $f(c)>\mu>f(d)$. Để cho$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ và xem xét $\xi=\sup S.$ Lưu ý rằng $c<\xi<d$. Thực hiện một chuỗi ngày càng tăng$(t_n)\subseteq (c,d)$ như vậy mà $t_n\to \xi.$ Sau đó, $f(t_n)\to f(\xi)$. Nếu$f(\xi)\neq \mu$ sau đó có một $\mu<\alpha<f(\xi)$. Liên tục của$f$ bây giờ ngụ ý rằng có một khoảng thời gian $I=(\xi,\xi+\delta)$ như vậy mà $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Nhưng điều này mâu thuẫn với định nghĩa của$\xi.$ Vì vậy, $f(\xi)= \mu.$

Chúng tôi đã chỉ ra rằng cho mỗi $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$và chúng tôi kết luận rằng $ D^+ f(\xi)\le 0$, đó là một mâu thuẫn. Do đó, khẳng định đúng với sự bất bình đẳng nghiêm ngặt và$now$ Chúng tôi xác định $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Nó theo sau đó$\bar D g_{\epsilon} >0$ trên $(a,b)$ vì thế $g_{\epsilon}$ không giảm ở đó, và như $\epsilon$ là tùy ý, $f$ cũng không giảm.