Hiểu không gian Fock

Question

Hãy bắt đầu với một không gian Hilbert hạt đơn $H$ có cơ sở $\{|\alpha\rangle\}$, Ở đâu $\alpha$đại diện cho một tập hợp đầy đủ các số lượng tử. Nếu bây giờ chúng ta lấy hai hạt cùng loại, chúng ta phải xem xét không gian$$H_2=H_1\otimes H_1,$$ và nói chung $n$ hạt sống trong $$H^{\otimes n}=H_1\otimes...\otimes H_1.$$ Không gian Fock (miễn phí) hiện được xác định bằng cách lấy tổng trực tiếp $$\mathcal{F(H)}:=\bigoplus_{n\ge 0} H^{\otimes n}.$$ Tôi hiểu tại sao chúng tôi sử dụng sản phẩm tensor: chúng tôi muốn mô tả toàn bộ hệ thống $n$các hạt cùng một lúc. Tuy nhiên, tôi không rõ tại sao chúng ta cũng cần tính tổng trực tiếp. Giải thích vật lý của nó là gì?

Answer 1

Xem xét các hạt giống hệt nhau. Trước tiên, hãy xem xét chỉ một hạt duy nhất trong hệ thống của bạn. "Khu vực 1 hạt" này được mô tả bởi không gian Hilbert$H_1$. Đây là thuật ngữ đầu tiên,$n=1$, trong tổng số trực tiếp bạn đã viết. ($n=0$có thể bỏ qua.) Bây giờ hãy xem xét hai hạt. Không gian Hilbert của hệ thống này là$H_1 \otimes H_1$. Đây là số hạng thứ hai trong tổng trực tiếp. Và như thế. Các cung có số lượng hạt khác nhau là độc lập và do đó bạn lấy tổng trực tiếp cho chúng.