Hiểu rõ về không gian vector
Tôi thực sự muốn hiểu sâu hơn về đại số tuyến tính trừu tượng vì 2 lý do, tôi muốn đi sâu hơn vào toán học thuần túy cho niềm vui (đại số trừu tượng, lý thuyết số, v.v.) và hiểu sâu hơn về cách các thuật toán học máy hoạt động.
Tôi đã đấu tranh với việc hiểu rõ không gian vectơ. Tôi đã đọc qua các tiên đề, cách chứng minh và các ví dụ / bài tập mẫu khác về chúng trong cả sách giáo khoa cũng như ở đây trên trao đổi về toán học. Khi tôi xem xét các giải pháp cả ở đây và trên một số trao đổi toán học về lý do tại sao một đối tượng nhất định là không gian vectơ hay không, tôi không tuân theo lý luận. Đây là một câu hỏi cũ như vậy từ đây (đây chỉ là 1 ví dụ, còn nhiều câu hỏi khác tôi không theo dõi)
Khi tôi nhìn vào câu trả lời được chấp nhận rất ngắn gọn chỉ nêu:
Cho 𝑢 = (1,0) và 𝑣 = (0,1). Khi đó 𝑢 + ′ 𝑣 = (1, −1) và 𝑣 + ′ 𝑢 = (2,3).
Tôi không hiểu bằng cách nào họ nghĩ ra (2,3)?
Tôi đã nhìn vào giải pháp thứ 2 có rất nhiều chi tiết và hơi bối rối. Có vẻ như các thao tác đại số được thực hiện theo một cách khác với những gì tôi mong đợi khi biết đại số trung học?
Ví dụ ở đây (xin lỗi vẫn cần phải học latex):
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = (𝑥1 + 2𝑦1,3𝑥2 − 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,3 (3𝑥2 − 𝑦2) −𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,9𝑥2− 3𝑦2 − 𝑧2)
ai đó có thể giải thích cho tôi làm thế nào mỗi phương trình được đến với nó chi tiết? Tôi không hiểu tại sao bạn có thể thêm "+ 2z1" khi nó chỉ là "z1"? Ngoài ra, trong phương trình sau tại sao bạn có thể làm "3 (3𝑥2 − 𝑦2)" có vẻ như bạn đang áp dụng nhân 3 lên 2 lần? Và lý luận tương tự mà tôi thiếu trong phương trình 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) nhưng tôi đoán nó sẽ tương tự.
Cảm ơn bạn!
Trả lời
Phép cộng vectơ thông thường được định nghĩa sao cho hai vectơ (hai chiều) cho trước $\vec x = (x_1, x_2)$ và $\vec y = (y_1, y_2)$, tổng của họ $\vec x + \vec y = (x_1, x_2) + (y_1, y_2)$ được định nghĩa là bằng $(x_1 + y_1,\ x_2 + y_2)$. Nói cách khác,$$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2).$$
(Lưu ý rằng $+$ ký ở bên trái của $\overset{\rm def}{=}$biểu tượng thực sự là một phép toán mới mà chúng tôi đang định nghĩa, vì trước đây chúng tôi chưa xác định ý nghĩa của việc thêm hai vectơ với nhau. Cả hai$+$ Tuy nhiên, các dấu hiệu bên phải chỉ đơn giản biểu thị phép cộng thông thường của hai số.)
Bây giờ, câu hỏi đặt ra rằng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta định nghĩa toán tử cộng vectơ mới này theo cách khác. Để tránh nhầm lẫn định nghĩa thay thế này với định nghĩa thông thường đã cho ở trên, hãy biểu thị toán tử cộng thay thế bằng một ký hiệu khác. Câu hỏi sử dụng$+'$ cho toán tử mới này, nhưng tôi không thực sự thích lựa chọn đó vì lý do đánh máy (dấu nháy đơn trông quá ngắt kết nối với dấu cộng), vì vậy hãy để tôi gọi nó $\oplus$thay thế. Do đó, quy tắc thêm vectơ thay thế của chúng ta bây giờ trông giống như sau:$$(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + 2y_1,\ 3x_2 - y_2).$$
Bây giờ, câu hỏi là liệu bộ $\mathbb R^2$, được trang bị toán tử nhân vectơ thông thường $\cdot$ và toán tử bổ sung thay thế mới này $\oplus$, cũng có thể thỏa mãn định nghĩa của không gian vectơ trên$\mathbb R$.
Hóa ra, câu trả lời là "không." Và để chứng minh điều đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là đưa ra ít nhất một ví dụ về vectơ mà ít nhất một trong các tiên đề trong định nghĩa của không gian vectơ không nắm được.
Bây giờ, một trong những tiên đề này là phép cộng vectơ cần phải có tính chất giao hoán: nếu $+$ biểu thị toán tử cộng trong không gian vectơ, sau đó $\vec x + \vec y$ cần phải luôn bằng $\vec y + \vec x$. Rõ ràng tiên đề này phù hợp với toán tử cộng thông thường, như được định nghĩa ở đầu câu trả lời này. Nó cũng giữ cho nhà điều hành thay thế$\oplus$?
Suy nghĩ của một khoảnh khắc sẽ tiết lộ rằng nó không, vì $x_1 + 2y_1$ nói chung là không bằng $y_1 + 2x_1$. (Trong thực tế, hai biểu thức chỉ bằng nhau nếu$x_1 = y_1$.) Và, đối với vấn đề đó, $3x_2 - y_2$ cũng không bằng $3y_2 - x_2$ trừ khi $x_2 = y_2$.
Vì vậy, toán tử bổ sung thay thế này $\oplus$ trên thực tế, yêu cầu về tính giao hoán không thành công cũng tệ như việc không đạt nó có thể xảy ra: $\vec x \oplus \vec y \ne \vec y \oplus \vec x$ bất cứ khi nào $\vec x \ne \vec y$.
Nhưng, như tôi đã lưu ý trước đó, chúng ta không thực sự cần chứng minh rằng lỗi giao hoán này xảy ra cho tất cả các cặp vectơ không bằng nhau$\vec x$ và $\vec y$. Tất cả những gì chúng ta cần làm là hiển thị một cặp vectơ mà nó không giữ được. Vì vậy, hãy chỉ chọn hai vectơ khác biệt bất kỳ - giả sử,$\vec x = (0,1)$ và $\vec y = (1,0)$ - và thực hiện số học:
$$\begin{alignat}{3} \vec x \oplus \vec y &=\;& (0,1) \oplus (1,0) &=\;& (0 + 2 \cdot 1,\ 3 \cdot 1 - 0) &= (2,3) \\ \vec y \oplus \vec x &=\;& (1,0) \oplus (0,1) &=\;& (1 + 2 \cdot 0,\ 3 \cdot 0 - 1) &= (1,-1). \end{alignat}$$
Tất nhiên, bạn cũng có thể chọn bất kỳ cặp vectơ riêng biệt nào khác. Và tất nhiên không quan trọng bạn có gọi các vectơ ví dụ$\vec x$ và $\vec y$ hoặc là $\vec u$ và $\vec v$hay bất cứ cái gì. Và nó cũng không thực sự quan trọng cho dù bạn viết các ký hiệu vectơ của mình dưới dạng$\vec x$ hoặc là $\bar x$ hoặc là $\mathbf x$ hoặc chỉ $x$, mặc dù nói chung bạn nên cố gắng tuân theo bất kỳ quy ước nào mà sách giáo khoa của bạn sử dụng.