$\int_{\Bbb{T}} e_n(\lambda) |\varphi(\lambda)|^2 = 0$ cho tất cả $n \neq 0$ ngụ ý $|\varphi|^2$ là không đổi gần như chắc chắn

Question

Xem xét nhóm vòng kết nối $\Bbb{T}\subseteq \Bbb{C}$ với biện pháp Haar của nó $d \lambda$. Tôi có tình huống sau:$\varphi \in L^2(\Bbb{T})$ có tiêu chuẩn $1$, I E $$\Vert \varphi\Vert_2^2 = \int_\Bbb{T} |\varphi|^2 d \lambda=1$$ Đặt $e_n(\lambda) = \lambda^n, n \in \Bbb{Z}$. Chúng tôi có tình huống sau$$n \neq 0 \implies \int_\Bbb{T} e_n |\varphi|^2 d \lambda = 0$$

Tôi có thể suy luận rằng $|\varphi|^2$ là hằng số gần như chắc chắn?

Cố gắng: Tôi đã cố gắng thể hiện điều đó $|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$, vậy nên $$|\varphi|^ 2 = \sum_{n \in \Bbb{Z}}\langle |\varphi|^2, e_n\rangle e_n= \langle |\varphi|^2, e_0\rangle e_0$$theo định lý Plancherel. Tuy nhiên, tôi không thành công khi thể hiện điều đó$|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$

Answer 1

Bạn có $g := |\varphi|^2 \in L^1(\mathbb{T})$ và $$\widehat{g}(n) = \int_{\mathbb{T}} g(x) \cdot \overline{x}^n \, dx = \int_{\mathbb{T}} e_{-n}(x) \cdot |\varphi(x)|^2 \, dx = 0$$ bất cứ gì $n \in \mathbb{Z}$ với $n \neq 0$. Hơn nữa$$\widehat{g}(0) = \int_{\mathbb{T}} |\varphi(x)|^2 \, dx = 1.$$ Bây giờ hãy kiểm tra xem hàm hằng $1 \in L^1(\mathbb{T})$ cũng hài lòng $\widehat{1}(n) = 0$ cho $n \in \mathbb{Z}$ với $n \neq 0$ và $\widehat{1}(0) = 1$. Sau đó$\widehat{g-1} = 0$ và do đó $g = 1$hầu như ở khắp mọi nơi bởi lời giải thích trong câu hỏi cuối cùng của bạn .