Không gian đẳng tích đẳng cấu

Question

$X$ isometrically isomorphic with $Y$, sau đó chúng tôi biểu thị bằng $X \simeq Y$ và, nếu $X \simeq Z$ cho $Z$ một không gian con của $Y$, sau đó chúng tôi biểu thị bằng $X \preceq Y$ (ký hiệu phát minh).

Chứng minh rằng $X \simeq Y$, nếu và chỉ nếu $X \preceq Y$ và $Y \preceq X$.

Nó thực sự trông rất tự nhiên, nhưng tôi không biết tại sao tôi không thể viết nó.

Answer 1

Chỉ để làm cho mọi thứ trở nên chính thức (và để chuyển cuộc thảo luận sang đây trong trường hợp tôi sai):

Tôi không nghĩ điều này đúng. Tôi tin rằng bạn cầnhttps://ncatlab.org/nlab/show/Cantor-Schroeder-Bernstein+theorem để điều này hoạt động, nhưng điều này không đúng với không gian Banach.