Là $P(1)$ thật?

Question

Gần đây, tôi đã phát hiện ra bằng chứng giả mạo này bằng cách quy nạp rằng tất cả các số nguyên dương đều bằng nhau từ The Mathelogical Gazette :

Để cho $P(n)$ là đề xuất:

"Nếu số tối đa của hai số nguyên dương là $n$ thì các số nguyên bằng nhau. "

Thông suốt $P(1)$là đúng. Giả sử rằng$P(n)$ là đúng, giả sử rằng $u$ và $v$ là các số nguyên dương sao cho giá trị lớn nhất của $u$ và $v$ Là $n + 1$. Sau đó, tối đa của$u - 1$ và $v - 1$ Là $n$, buộc $u - 1 = v - 1$ bởi tính hợp lệ của $P(n)$. Vì thế,$u = v$.

Tôi thấy điều này, gần như trùng lặp: Tìm lỗi sai trong cách xử lý sau , và tôi hiểu điều đó, nhưng tôi đã tranh cãi với ai đó. Họ nói rằng trường hợp cơ sở$P(1)$trên thực tế, không đúng, bởi vì, hoặc hai số nguyên đã giống nhau, hoặc chúng khác nhau, và chỉ trong trường hợp$P(1)$ Đúng là ở chỗ chúng phải giống nhau, trong trường hợp đó chúng tôi chưa chứng minh được điều gì.

Tôi nói, đó là trường hợp đặc biệt $n = 1$ buộc các con số phải giống nhau, điều này làm cho$P(1)$ thật.

Ai đúng?

Answer 1

Trường hợp cơ sở là chính xác. Sai lầm ở bước cảm ứng khi bạn cho rằng$u-1$ và $v-1$ là các số nguyên dương.