$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Tôi cảm thấy cách tiếp cận duy nhất để tìm giới hạn là ghi nhật ký ở cả hai phía $y=\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

$\ln y=\lim_{x\rightarrow 0}2x \ln(\ln x^{2})$

Ở gần $0$ , $\ln(\ln x^{2})$ sẽ là $\ln(- \infty)$. mà không được xác định.

Vì vậy, tôi sẽ kết luận rằng giới hạn không tồn tại?

Answer 1

Như đã nhận thấy trong một số nhận xét, chúng tôi có

$$(\ln (x^{2}))^{2x}$$

không phải là một biểu thức được xác định rõ ràng như $x\to 0$ do đó, trong một số ngữ cảnh, với tư cách là các khóa học giải tích giới hạn, chúng ta đột nhiên kết luận rằng việc xem xét giới hạn tại thời điểm đó là vô nghĩa.

Dù sao, theo quan sát từ những người dùng khác trong nhận xét, khi $x=\frac p q$ với $p,q \in \mathbb Z$ và $q$ kỳ quặc, chúng ta có thể đánh giá một cách đại lượng biểu thức như $x\to 0$ và, trong giới hạn này, giới hạn là $1$.

Thật vậy, chúng tôi có điều đó

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

và bởi $x=\pm e^{-y}$ với $y \to \infty$

$$2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)=\pm \frac{2\ln (2y)}{e^y}\to 0$$

vì thế

$$(\ln (x^{2}))^{2x}\to e^0=1$$

Vấn đề với cách tiếp cận tổng quát hơn này là khi $2x=\frac p q$ với $p,q \in \mathbb Z$ cả hai tỷ lệ cược chúng tôi có

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=-\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=-e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

và giới hạn là $-1$ trong trường hợp này.

Do đó, để kết luận, chúng ta có thể nói rằng giới hạn không tồn tại ngay cả đối với giới hạn hợp lý đối với $x$ trong đó biểu thức có thể được xác định rõ.

Answer 2

Sử dụng $$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=\exp\Big[2x \log\Big(\big[\log ^2(x)\big] \Big]$$

Đối với các giá trị nhỏ của $x$

$$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=1+2 x \log \left(\log ^2(x)\right)+2 x^2 \log ^2\left(\log ^2(x)\right)+\cdots$$

Cố gắng cho $x=\frac 1{e^4}$ lhs là $256^{\frac{1}{e^4}}\approx1.10690$ trong khi phần mở rộng bị cắt ngắn cho $$1+\frac{2 \log ^2(16)}{e^8}+\frac{\log (256)}{e^4}\approx 1.10672$$

Giới hạn là $1$.

Biên tập

Nếu vấn đề là $\big[\log (x^2)\big]^{2 x}$, sau đó, cho nhỏ $x$ $$\big[\log (x^2)\big]^{2 x}=1+2 x \log ( \log (x^2))+2 x^2 \log ^2( \log (x^2))+\cdots$$ và giới hạn là $1$ lần nữa.