Ma trận liên quan đến hàm möbius
Xem xét ma trận $A_n$ được xác định cho số nguyên dương $n$ bằng cách thiết lập $(i,j)$mục nhập thứ vào $1$ nếu $j$ phân chia $i$và $0$ ngược lại, cho $1\leq i,j\leq n$. Ví dụ,$$A_6=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{bmatrix}.$$ Ma trận này có đặc tính thú vị là $\det A_n=1$ cho tất cả $n$ (vì nó là ma trận tam giác thấp hơn) và nghịch đảo của nó có thể được mô tả rõ ràng là có $(i,j)$mục nhập thứ bằng $\mu(j/i)$ nếu $i\mid j$và $0$ nếu không, ở đâu $\mu$là hàm mobius . Thực tế này dễ thấy tương đương với nghịch đảo mobius.
Q. Ma trận này có tên không? Đây có vẻ như là một ma trận đủ cơ bản để các thuộc tính của nó có thể (nên?) Được nghiên cứu kỹ lưỡng, nhưng tôi không biết phải tìm kiếm từ khóa nào để tìm hiểu thêm, nếu nó có một cái tên đặc biệt nào đó.
Trả lời
Ma trận này là ma trận kề của tập hợp$P$ của số nguyên giữa $1$ và $n$(bao gồm) dưới sự phân chia, được coi như một đồ thị có hướng. Nó nằm bên trong đại số tỷ lệ , như Sungjin đã đề cập trong các nhận xét, mà bạn có thể coi nó là đại số con của đại số ma trận$\text{End}(k[P])$được tạo ra bởi các cạnh của đồ thị có hướng, và trong thuật ngữ đại số tỷ lệ, nó được gọi là hàm zeta của poset, và nghịch đảo của nó được gọi là hàm Mobius của poset. Chúng tôi có một khái quát về phép nghịch đảo Mobius liên quan đến việc nhân với hàm zeta và nhân với hàm Mobius chuyên về đảo ngược Mobius thông thường cũng như loại trừ bao gồm và các nội dung thú vị khác.
(Định nghĩa của đại số tỷ lệ mà tôi đã đưa ra ở trên chỉ tương đương với định nghĩa thông thường cho các poset hữu hạn. Trong trường hợp vô hạn, bạn có thể viết ra ít nhất hai đại số khác nhau và trường hợp thông thường yêu cầu poset là hữu hạn cục bộ. một tôi đã viết ra không yêu cầu như vậy nhưng nó có ít yếu tố hơn.)
Một cách tổng quát hơn, bạn có thể xác định đại số danh mục của một danh mục (nhỏ)$C$ trở thành người miễn phí $k$-mô-đun trên các hình thái của $C$, với thành phần được cung cấp bởi thành phần trong $C$nếu được định nghĩa hoặc bằng không nếu không. Cấu trúc này tổng quát hóa đại số tỷ lệ (coi các poset là các hạng mục) nhưng cũng là cấu trúc của đại số nhóm. (Một lần nữa, trong trường hợp hữu hạn và một lần nữa trong trường hợp vô hạn, có ít nhất hai đại số khác nhau mà bạn có thể viết ra.) Nếu$C$ có vô số biến hình, bạn có thể lại xem xét một hàm zeta được cho bởi tổng của tất cả các biến thể và nếu phần tử này có nghịch đảo, nó được gọi là hàm Mobius của $C$. Ví dụ, hãy xem Quan niệm của Tom Leinster về sự đảo ngược Mobius .