$\mathbb N$ là một lĩnh vực
Chúng tôi tìm thấy một sự phản đối $\phi$ giữa $\mathbb N$ và $\mathbb Q$. Do đó, xác định phép cộng và phép nhân tương ứng trên$\mathbb N$ (như vậy mà $\phi$ trở thành một phép đồng cấu) $\mathbb N$ vào một lĩnh vực.
Có một sai lầm trong lý luận của tôi?
Trả lời
Một trường không chỉ là một tập hợp , nó là một tập hợp cùng với một số cấu trúc bổ sung (hai phép toán trường). Vì vậy, nó không hoàn toàn đúng rằng$\mathbb{Q}$ là một lĩnh vực - đúng hơn, $(\mathbb{Q};+,\times)$ là một lĩnh vực.
Các đường phân bổ cho phép chúng tôi "cấu trúc vận chuyển:" nếu $\oplus,\otimes$ là các phép toán nhị phân trên một số tập hợp $A$ như vậy mà $(A;\oplus,\otimes)$ là một lĩnh vực và $f:A\rightarrow B$là một sự từ chối, chúng ta có thể cho$B$cấu trúc của một trường theo cách tự nhiên: xem xét các hoạt động$\hat{\oplus}$ và $\hat{\otimes}$ được cho bởi $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ cho $x,y\in B$. Nhưng bộ $B$bản thân nó không phải là một lĩnh vực; đúng hơn, cấu trúc $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ là một lĩnh vực.
Đặc biệt, khi chúng ta nâng thường $+$ và $\times$ dọc theo bijection yêu thích của bạn $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, chúng tôi nhận hoạt động $\hat{+}$ và $\hat{\times}$ như vậy mà $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$là một trường, nhưng những phép toán này sẽ rất kỳ quặc - đặc biệt, chúng sẽ hoàn toàn khác với phép cộng và nhân các số tự nhiên thông thường mà chúng ta vẫn quen dùng. Vì vậy, không có gì căng thẳng giữa kết quả này và thực tế là$(\mathbb{N};+,\times)$rõ ràng không phải là một lĩnh vực.
Không có nhầm lẫn. Trên thực tế, bất kỳ tập hợp vô hạn nào cũng có thể được biến thành một trường. Lưu ý rằng các hoạt động mà bạn xác định trên$\mathbb N$ cách này nhất thiết sẽ khác với phép cộng & nhân các số tự nhiên thông thường (vì với các phép toán thông thường, các số tự nhiên không phải là một trường).
Sử dụng ánh xạ đường chéo thông thường nhưng xen kẽ giữa các giá trị dương và âm và bỏ qua các biểu diễn trùng lặp của "phân số không có số hạng thấp nhất", chúng ta có thể có phép phân tích trong đó một số số hạng đầu tiên là:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Bây giờ đây là một lĩnh vực. Nhận dạng phụ gia là$1$ và $1 + k = k+1 = k$ cho tất cả $k \in \mathbb N$.
Mọi giá trị, $k$ có một nghịch đảo phụ gia, $-k$ vậy nên $k+(-k)= 1$. Ví dụ phụ gia nghịch đảo của$4$ Là $-4 =5$ và $4+5 = 1$. Tương tự$-11 = 10$ và $11 + 10 = 1$.
Nhận dạng nhân là $2$ và $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ cho tất cả $k \in \mathbb N$.
Và cho mọi giá trị $k$ ngoại trừ $1$, sẽ có một nghịch đảo nhân $\frac 1k$ Ở đâu $k\cdot \frac 1k = 2$. Ví dụ$\frac 14 = 6$ và $4\cdot 6 = 2$.
Và như thế.
Tất cả điều này đều có ý nghĩa bởi vì tất cả những gì tôi đã làm là thay thế các số hữu tỉ "thông thường" bằng những gì mapps thành chúng. Nếu tôi ghi chú về$k \color{blue}{\mapsto m}$ để thể hiện ý tôi "thực sự" và cắt và dán những gì tôi đã viết ở trên, nó sẽ là:
...........
Bây giờ đây là một lĩnh vực. Nhận dạng phụ gia là$1\color{blue}{\mapsto 0}$ và $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ cho tất cả $k \in \mathbb N$.
Mọi giá trị, $k$ có một nghịch đảo phụ gia, $-k$ vậy nên $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Ví dụ phụ gia nghịch đảo của$4\color{blue}{\mapsto 2}$ Là $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ và $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Tương tự$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ và $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
Nhận dạng nhân là $2\color{blue}{\mapsto 1}$ và $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ cho tất cả $k \in \mathbb N$.
Và cho mọi giá trị $k$ ngoại trừ $1\color{blue}{\mapsto 0}$, sẽ có một nghịch đảo nhân $\frac 1k$ Ở đâu $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Ví dụ$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ và $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
Và như thế.